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保存至快速回贴&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-60b0a6bffdf4be2b45cd8_b.jpg& data-rawwidth=&537& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&537& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-60b0a6bffdf4be2b45cd8_r.jpg&&&/figure&&blockquote&最近上课用到Jacobian，老师随口说了句：我们对这已经很熟悉了。想想其实并不然，本科时时学 Jacobian老师基本没细讲，只是让我们“背”住Jacobian公式，随后一系列练习题逐渐的对Jacobian越来“熟悉”，但只要深入一点点，就不知所云了。因此找了些资料重新理解一遍，整理笔记如下。&/blockquote&&hr&&p&文章结构如下：&/p&&p&1. 仿射变换（affine transformation）&/p&&p&2. Jacobian 矩阵与行列式&/p&&p&
2.1 Jacobian 矩阵&/p&&p&
2.2 Jacobian 行列式&/p&&p&
2.2.1 线性变换将面积伸缩&/p&&p&
2.2.2 Jacobian 行列式意义&/p&&p&
2.2.3 Jacobian 行列式用途&/p&&p&3. Jacobian 与 Hessian&/p&&hr&&h2&&b&1. 仿射变换（affine transformation）&/b&&/h2&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为一 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&& 阶实矩阵， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&\mathbf{b}& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 维向量，定义于几何空间 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 的仿射变换具有下列形式：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D%5C%5C& alt=&T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说，仿射变换由一线性变换加上一平移量构成。因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7B0%7D%29%3D%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&T(\mathbf{0})=\mathbf{b}& eeimg=&1&& 。除非平移量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&\mathbf{b}& eeimg=&1&& 为零，仿射变换才是线性变换。仿射变换有两个特殊的性质：共线(collinearity)不变性和比例不变性，意思是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 的任一直线经仿射变换的像(image)仍是一直线，而且直线上各点之间的距离比例维持不变。&/p&&p&&i&证明：&/i&&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 中任一直线，其表达式为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%3D%5C%7Bt%5Cmathbf%7Bv%7D%2B%5Cmathbf%7Bu%7D%7Ct%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5C%7D& alt=&L=\{t\mathbf{v}+\mathbf{u}|t\in \mathbb{R}\}& eeimg=&1&& ，向量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D%5Cneq+%5Cmathbf%7B0%7D& alt=&\mathbf{v}\neq \mathbf{0}& eeimg=&1&& 代表直线指向， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D& alt=&\mathbf{u}& eeimg=&1&& 是直线上一点。令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D_1%2C%5Cmathbf%7Bp%7D_2%2C%5Cmathbf%7Bp%7D_3& alt=&\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3& eeimg=&1&& 为直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 上的三个相异点，也就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D_i%3Dt_i%5Cmathbf%7Bv%7D%2B%5Cmathbf%7Bu%7D%2Ci%3D1%2C2%2C3& alt=&\mathbf{p}_i=t_i\mathbf{v}+\mathbf{u},i=1,2,3& eeimg=&1&& ，此三点经仿射变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}& eeimg=&1&& 后的新位置分别为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Beqnarray%7D%5Cmathbf%7Bp%7D%27_i%26%3D%26T%28%5Cmathbf%7Bp%7D_i%29%5C%5C+%26%3D%26A%28t_i+%5Cmathbf%7Bv%7D%2B%5Cmathbf%7Bu%7D%29%2B%5Cmathbf%7Bb%7D%5C%5C+%26%3D%26t_i+A%5Cmathbf%7Bv%7D%2BA%5Cmathbf%7Bu%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D%2Ci%3D1%2C2%2C3%5Cend%7Beqnarray%7D%5C%5C& alt=&\begin{eqnarray}\mathbf{p}'_i&=&T(\mathbf{p}_i)\\ &=&A(t_i \mathbf{v}+\mathbf{u})+\mathbf{b}\\ &=&t_i A\mathbf{v}+A\mathbf{u}+\mathbf{b},i=1,2,3\end{eqnarray}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D%27%3DA%5Cmathbf%7Bv%7D%2C%5Cmathbf%7Bu%7D%27%3DA%5Cmathbf%7Bu%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&\mathbf{v}'=A\mathbf{v},\mathbf{u}'=A\mathbf{u}+\mathbf{b}& eeimg=&1&& ，新的位置可以表示成 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D%27_i%3Dt_i%5Cmathbf%7Bv%7D%27%2B%5Cmathbf%7Bu%7D%27& alt=&\mathbf{p}'_i=t_i\mathbf{v}'+\mathbf{u}'& eeimg=&1&& ，所以三个点经过仿射变换后仍在同一条直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%27%3D%5C%7Bt%5Cmathbf%7Bv%7D%27%2B%5Cmathbf%7Bu%7D%27%7Ct%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5C%7D& alt=&L'=\{t\mathbf{v}'+\mathbf{u}'|t\in \mathbb{R}\}& eeimg=&1&& 。下面计算三点之间的距离比例：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cleft+%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%27_2-%5Cmathbf%7Bp%7D%27_1%5Cright+%5C%7C%7D%7B%5Cleft+%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D%27_3-%5Cmathbf%7Bp%7D%27_2%5Cright+%5C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft+%5C%7C%28t_2-t_1%29%5Cmathbf%7Bv%7D%27%5Cright+%5C%7C%7D%7B%5Cleft+%5C%7C%28t_3-t_2%29%5Cmathbf%7Bv%7D%27%5Cright+%5C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft+%5C%7C%28t_2-t_1%29%5Cmathbf%7Bv%7D%5Cright+%5C%7C%7D%7B%5Cleft+%5C%7C%28t_3-t_2%29%5Cmathbf%7Bv%7D%5Cright+%5C%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft+%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D_2-%5Cmathbf%7Bp%7D_1%5Cright+%5C%7C%7D%7B%5Cleft+%5C%7C%5Cmathbf%7Bp%7D_3-%5Cmathbf%7Bp%7D_2%5Cright+%5C%7C%7D%5C%5C& alt=&\frac{\left \|\mathbf{p}'_2-\mathbf{p}'_1\right \|}{\left \|\mathbf{p}'_3-\mathbf{p}'_2\right \|}=\frac{\left \|(t_2-t_1)\mathbf{v}'\right \|}{\left \|(t_3-t_2)\mathbf{v}'\right \|}=\frac{\left \|(t_2-t_1)\mathbf{v}\right \|}{\left \|(t_3-t_2)\mathbf{v}\right \|}=\frac{\left \|\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_1\right \|}{\left \|\mathbf{p}_3-\mathbf{p}_2\right \|}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&证毕。&/p&&hr&&h2&&b&2. Jacobian 矩阵与行列式&/b&&/h2&&p&假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%7D& alt=&F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}& eeimg=&1&& 是这样的一个函数，对于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 维实向量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%5E%7BT%7D%EF%BC%8CF%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}，F(\mathbf{x})& eeimg=&1&& 具有下列形式：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+f_1%28x_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%5C%5C+%5Cvdots+%5C%5C+f_m%28x_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%29+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&F(\mathbf{x})=\begin{bmatrix} f_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots \\ f_m(x_1,\cdots,x_n) \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f_j%3AD%5Crightarrow%5Cmathbb%7BR%7D%2CD%5Csubseteq%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&f_j:D\rightarrow\mathbb{R},D\subseteq\mathbb{R}^n& eeimg=&1&& 是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的定义域。如果向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的数学形式相当的复杂，一般可以用线性化进行简化。对于单变量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dp& alt=&x=p& eeimg=&1&& 附近我们可以用直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dax%2Bb& alt=&y=ax+b& eeimg=&1&& ，近似 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 。推理至多变量，令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5En%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5Em& alt=&T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m& eeimg=&1&& 为一个仿射变换，表示如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D%5C%5C& alt=&T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m%5Ctimes+n& alt=&m\times n& eeimg=&1&& 阶实矩阵， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5Em& alt=&\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m& eeimg=&1&& 。下面解释如何以仿射变化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 近似向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& ，由此衍生出 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的导数矩阵，即Jacobian矩阵。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.1 Jacobian 矩阵&/b&&/p&&p&我们的目标是在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cin+D& alt=&p\in D& eeimg=&1&& 的附近范围使用形式简单的仿射变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}& eeimg=&1&& 近似 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&F(\mathbf{x})& eeimg=&1&& ，因此在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 点，我们有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29& alt=&T(\mathbf{p})=F(\mathbf{p})& eeimg=&1&& 。因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bx%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}& eeimg=&1&& ，又有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bp%7D%2B%5Cmathbf%7Bb%7D& alt=&F(\mathbf{p})=A\mathbf{p}+\mathbf{b}& eeimg=&1&& 或 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29-A%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{b}=F(\mathbf{p})-A\mathbf{p}& eeimg=&1&& ，所以&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DA%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D%29%2BF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C& alt=&T(\mathbf{x})=A(\mathbf{x}-\mathbf{p})+F(\mathbf{p})\\& eeimg=&1&&&/p&&p&接着要找出 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 使得仿射变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 点附近最近似于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 。自然地，当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D+%5Crightarrow+%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{p}& eeimg=&1&& ，符合最近似条件的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 应使误差 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29-T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&F(\mathbf{x})-T(\mathbf{x})& eeimg=&1&& 更快的趋于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7B0%7D& alt=&\mathbf{0}& eeimg=&1&& （零向量）。若存在一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m%5Ctimes+n& alt=&m\times n& eeimg=&1&& 阶实矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 使得&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cunderset%7B%5Cmathbf%7Bx%7D+%5Crightarrow+%5Cmathbf%7Bp%7D%7D%7Blim%7D%5Cfrac%7BF%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29-F%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29-A%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D%29%7D%7B%5Cleft+%5C%7C+%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D%5Cright+%5C%7C%7D%3D%5Cmathbf%7B0%7D%5C%5C& alt=&\underset{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{p}}{lim}\frac{F(\mathbf{x})-F(\mathbf{p})-A(\mathbf{x}-\mathbf{p})}{\left \| \mathbf{x}-\mathbf{p}\right \|}=\mathbf{0}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&我们说 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%7D& alt=&F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 可导(differentiable)。为了让 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D& alt=&\mathbf{x}& eeimg=&1&& 从任意方向逼近 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& ，我们另要求 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 是定义域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 的一个内点(interior point)，意思是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 的附近点都属于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 。&/p&&p&下面证明若向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 点可导，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 唯一决定。考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&\mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 的标准基底 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cmathbf%7Be%7D_1%2C%5Ccdots%2C%5Cmathbf%7Be%7D_2%5C%7D& alt=&\{\mathbf{e}_1,\cdots,\mathbf{e}_2\}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Be%7D_j& alt=&\mathbf{e}_j& eeimg=&1&& 第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&& 元素为1，其余为0。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&& 为一极小数使得 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D%2Bh%5Cmathbf%7Be%7D_j%2Cj%3D1%2C%5Ccdots%2Cn& alt=&\mathbf{p}+h\mathbf{e}_j,j=1,\cdots,n& eeimg=&1&& ，属于定义域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 。如果 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 可导，就有&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cunderset%7Bh+%5Crightarrow+0%7D%7Blim%7D%5Cfrac%7BF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%2Bh%5Cmathbf%7Be%7D_j%29-F%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29-A%28h%5Cmathbf%7Be%7D_j%29%7D%7Bh%7D%3D%5Cmathbf%7B0%7D%2Cj%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%5C%5C& alt=&\underset{h \rightarrow 0}{lim}\frac{F(\mathbf{p}+h\mathbf{e}_j)-F(\mathbf{p})-A(h\mathbf{e}_j)}{h}=\mathbf{0},j=1,\cdots,n\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%28h%5Cmathbf%7Be%7D_j%29%3Dh%28A%5Cmathbf%7Be%7D_j%29& alt=&A(h\mathbf{e}_j)=h(A\mathbf{e}_j)& eeimg=&1&& ，可知：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cunderset%7Bh+%5Crightarrow+0%7D%7Blim%7D%5Cfrac%7BF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%2Bh%5Cmathbf%7Be%7D_j%29-F%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%7D%7Bh%7D%3DA%5Cmathbf%7Be%7D_j%5C%5C& alt=&\underset{h \rightarrow 0}{lim}\frac{F(\mathbf{p}+h\mathbf{e}_j)-F(\mathbf{p})}{h}=A\mathbf{e}_j\\& eeimg=&1&&&/p&&p&上式等号左边即为偏导数&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_1%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_2%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C+%5Cvdots+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_m%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&\frac{\partial F}{\partial x_j}(\mathbf{p})=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(\mathbf{p})\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(\mathbf{p})\\ \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_j}(\mathbf{p}) \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&等号右边等于矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&& 行，故：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B1%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B1%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B1%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B2%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%26%5Ccdots+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B1%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7Bn%7D%7D+%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B2%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B1%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B2%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B2%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%26%5Ccdots+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7B2%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7Bn%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%5C%5C+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%26+%5Cddots+%26+%5Cvdots+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7Bm%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B1%7D%7D+%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7Bm%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7B2%7D%7D%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%26%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7Bm%7D%7D%7B%5Cpartial+x_%7Bn%7D%7D+%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&A=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(\mathbf{p}) & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}(\mathbf{p}) &\cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} (\mathbf{p})\\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}(\mathbf{p}) & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}(\mathbf{p})&\cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}(\mathbf{p}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (\mathbf{p}) &\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}}(\mathbf{p})&\cdots &\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (\mathbf{p}) \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m%5Ctimes+n& alt=&m\times n& eeimg=&1&& 阶实举证称为向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 的Jacobian矩阵或导数矩阵(derivative matrix)，记为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29& alt=&J(\mathbf{p})& eeimg=&1&& 。因此，可导函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 的最佳仿射近似是&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%2BJ%28%5Cmathbf%7Bb%7D%29%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C& alt=&T(\mathbf{x})=F(\mathbf{p})+J(\mathbf{b})(\mathbf{x}-\mathbf{p})\\& eeimg=&1&&&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bh%7D%3D%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{h}=\mathbf{x}-\mathbf{p}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%2B%5Cmathbf%7Bh%7D%29& alt=&F(\mathbf{x})=F(\mathbf{p}+\mathbf{h})& eeimg=&1&& 的泰勒展开式为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Cmathbf%7Bp%7D%2B%5Cmathbf%7Bh%7D%29%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%2BJ%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5Cmathbf%7Bh%7D%2Bo%28%5Cleft+%5C%7C+%5Cmathbf%7Bh%7D%5Cright+%5C%7C%29%5E2%5C%5C& alt=&F(\mathbf{p}+\mathbf{h})=F(\mathbf{p})+J(\mathbf{p})\mathbf{h}+o(\left \| \mathbf{h}\right \|)^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DF%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29& alt=&T(\mathbf{p})=F(\mathbf{p})& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29-T%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DJ%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D%29%5C%5C& alt=&T(\mathbf{x})-T(\mathbf{p})=J(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})\\& eeimg=&1&&&/p&&p&上式指出仿射变换的改变量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29-T%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29& alt=&T(\mathbf{x})-T(\mathbf{p})& eeimg=&1&& 是自变量的改变量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{x}-\mathbf{p}& eeimg=&1&& 的线性函数。Jacobian矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28%5Cmathbf%7Bp%7D%29& alt=&J(\mathbf{p})& eeimg=&1&& 即为线性变换矩阵。直白的说，当我们将非线性函数给予线性转换时，Jacobian矩阵就是描述该线性关系的矩阵。&/p&&p&举个例子：极坐标与卡氏坐标的转换：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dr%7Ecos%5Ctheta%5C%5C+r%7Esin%5Ctheta%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7DX%28r%2C%5Ctheta%29%5C%5C+Y%28r%2C%5Ctheta%29%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dx%5C%5C+y%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&\begin{bmatrix}r~cos\theta\\ r~sin\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}X(r,\theta)\\ Y(r,\theta)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=r%5Cgeqslant+0%2C0%5Cleqslant+%5Ctheta+%5Cleqslant+%5Cpi%2F2& alt=&r\geqslant 0,0\leqslant \theta \leqslant \pi/2& eeimg=&1&& 。&/p&&p&Jacobian矩阵计算如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28r%2C%5Ctheta%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7Ecos%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7Ecos%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7Esin%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7Esin%5Ctheta%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+cos%5Ctheta%26-rsin%5Ctheta+%5C%5C+sin%5Ctheta+%26+rcos%5Ctheta+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&J(r,\theta)=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial r~cos\theta}{\partial r} &\frac{\partial r~cos\theta}{\partial \theta} \\ \frac{\partial r~sin\theta}{\partial r} & \frac{\partial r~sin\theta}{\partial \theta} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&-rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%28t%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+r%28t%29%5C%5C+%5Ctheta%28t%29+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{u}(t)=\begin{bmatrix} r(t)\\ \theta(t) \end{bmatrix}& eeimg=&1&& 是极坐标平面上的一条曲线， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%28t%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x%28t%29%5C%5C+y%28t%29+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix} x(t)\\ y(t) \end{bmatrix}& eeimg=&1&& 是卡式坐标平面的映射曲线，使用链式法则(chain rule)， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D& alt=&\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d} t}& eeimg=&1&& 具有下列关系：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+x%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+y%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+r%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+r%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+r%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+r%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3DJ%28r%2C%5Ctheta%29%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cmathbf%7Bu%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+t%7D%5C%5C& alt=&\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}=\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\\ \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}\\ \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \end{bmatrix}=J(r,\theta)\frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d} t}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&从几何上说，Jacobian矩阵将极坐标平面的切向量映至卡式坐标平面的切向量。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.2 Jacobian 行列式&/b&&/p&&ul&&li&&b&2.2.1 线性变换将面积伸缩&/b&&/li&&/ul&&p&考虑从 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&& 映射至 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&& 的线性变换：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%2Cy%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D4x-2y%5C%5C+2x%2B3y%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&T(x,y)=\begin{bmatrix}4x-2y\\ 2x+3y\end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&设区域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%7C0%5Cleqslant+x%2Cy%5Cleqslant+1%5C%7D& alt=&S_1=\{(x,y)|0\leqslant x,y\leqslant 1\}& eeimg=&1&& ，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_1%29& alt=&T(S_1)& eeimg=&1&& 代表 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_1& alt=&S_1& eeimg=&1&& 中所有点经 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 映射后的集合，求 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_1%29& alt=&T(S_1)& eeimg=&1&& 的面积。&/p&&p&因为单位正方形可直接用两边 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Be%7D_1%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%5C%5C+0%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Be%7D_2%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%5C%5C+1%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}& eeimg=&1&& 表示，即&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%3D%5C%7Bx%5Cmathbf%7Be%7D_1%2By%5Cmathbf%7Be%7D_2%7C0%5Cleqslant+x%2Cy%5Cleqslant+1%5C%7D%5C%5C& alt=&S_1=\{x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2|0\leqslant x,y\leqslant 1\}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为线性变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 参考标准基底的表示矩阵，就有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28%5Cmathbf%7Bv%7D%29%3DA%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5B%5Cmathbf%7Ba%7D_1%2C%5Cmathbf%7Ba%7D_2%5D& alt=&A=[\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2]& eeimg=&1&& ，上例中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+4+%26-2+%5C%5C+2+%263+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&A=\begin{bmatrix} 4 &-2 \\ 2 &3 \end{bmatrix}& eeimg=&1&& 。算出 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cmathbf%7Be%7D_1%2By%5Cmathbf%7Be%7D_2& alt=&x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2& eeimg=&1&& 经过 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 映射的像如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%5Cmathbf%7Be%7D_1%2By%5Cmathbf%7Be%7D_2%29%3DA%28x%5Cmathbf%7Be%7D_1%2By%5Cmathbf%7Be%7D_2%29%3DxA%5Cmathbf%7Be%7D_1%2ByA%5Cmathbf%7Be%7D_2%3Dx%5Cmathbf%7Ba%7D_1%2By%5Cmathbf%7Ba%7D_2%5C%5C& alt=&T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=A(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xA\mathbf{e}_1+yA\mathbf{e}_2=x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&也就有：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_1%29%3D%5C%7Bx%5Cmathbf%7Ba%7D_1%2By%5Cmathbf%7Ba%7D_2%7C0%5Cleqslant+x%2Cy%5Cleqslant+1%5C%7D%5C%5C& alt=&T(S_1)=\{x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2|0\leqslant x,y\leqslant 1\}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这表明 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_1%29& alt=&T(S_1)& eeimg=&1&& 其实就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的列向量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D_1& alt=&\mathbf{a}_1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D_2& alt=&\mathbf{a}_2& eeimg=&1&& 所表示的平行四边形。二阶矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的行列式绝对值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D_1& alt=&\mathbf{a}_1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D_2& alt=&\mathbf{a}_2& eeimg=&1&& 所形成的平行四边形的面积，故 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cupsilon+%28T%28S_1%29%29%3D%5Cleft+%7Cdet+A+%5Cright+%7C& alt=&\upsilon (T(S_1))=\left |det A \right |& eeimg=&1&& ，这里 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cupsilon+%28T%28S_1%29%29& alt=&\upsilon (T(S_1))& eeimg=&1&& 表示 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_1%29& alt=&T(S_1)& eeimg=&1&& 的面积。&/p&&p&我们推广一下，考虑 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&& 为二维向量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D_1& alt=&\mathbf{b}_1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bb%7D_2& alt=&\mathbf{b}_2& eeimg=&1&& 所形成的平行四边形，以同样的方式可得：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2By%5Cmathbf%7Bb%7D_2%29%3DA%28x%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2By%5Cmathbf%7Bb%7D_2%29%3DxA%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2ByA%5Cmathbf%7Bb%7D_2%5C%5C& alt=&T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2)=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_2%29& alt=&T(S_2)& eeimg=&1&& 其实为向量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cmathbf%7Bb%7D_1& alt=&A\mathbf{b}_1& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cmathbf%7Bb%7D_2& alt=&A\mathbf{b}_2& eeimg=&1&& 所表示的平行四边形。设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B%3D%5B%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2C%5Cmathbf%7Bb%7D_2%5D& alt=&B=[\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2]& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_2%29& alt=&T(S_2)& eeimg=&1&& 等于矩阵相乘 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D%5BA%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2CA%5Cmathbf%7Bb%7D_2%5D& alt=&AB=[A\mathbf{b}_1,A\mathbf{b}_2]& eeimg=&1&& 的两边所形成的平行四边形，可得：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cupsilon+%28T%28S_2%29%29%3D%5Cleft+%7Cdet+%28AB%29+%5Cright+%7C%3D%5Cleft+%7Cdet+A+%5Cright+%7C%5Cleft+%7Cdet+B+%5Cright+%7C%5C%5C& alt=&\upsilon (T(S_2))=\left |det (AB) \right |=\left |det A \right |\left |det B \right |\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%7Cdet+B+%5Cright+%7C& alt=&\left |det B \right |& eeimg=&1&& 等于平行四边形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&& 的面积，可得到：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cupsilon+%28T%28S_2%29%29%3D%5Cleft+%7Cdet+A+%5Cright+%7C%5Cupsilon+%28S_2%29%5C%5C& alt=&\upsilon (T(S_2))=\left |det A \right |\upsilon (S_2)\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这个结果表明平行四边形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&& 经线性变换 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& （参考标准基底的矩阵表示为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ），面积伸缩了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%7Cdet+A+%5Cright+%7C& alt=&\left |det A \right |& eeimg=&1&& 倍。&/p&&p&如果平行四边形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&& 在平面上移动，前述的结果依然成立吗？考虑&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_3%3D%5C%7Bx%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2By%5Cmathbf%7Bb%7D_2%2B%5Cmathbf%7Bp%7D%7C0%5Cleqslant+x%2Cy%5Cleqslant+1%5C%7D%5C%5C& alt=&S_3=\{x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p}|0\leqslant x,y\leqslant 1\}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&\mathbf{p}& eeimg=&1&& 代表平移向量。计算 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_3& alt=&S_3& eeimg=&1&& 各点经过映射的像：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2By%5Cmathbf%7Bb%7D_2%2B%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DA%28x%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2By%5Cmathbf%7Bb%7D_2%2B%5Cmathbf%7Bp%7D%29%3DxA%5Cmathbf%7Bb%7D_1%2ByA%5Cmathbf%7Bb%7D_2%2BA%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%5C& alt=&T(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})=A(x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+\mathbf{p})=xA\mathbf{b}_1+yA\mathbf{b}_2+A\mathbf{p}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因此可以得到 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T%28S_3%29%3DT%28S_2%29%2BA%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&T(S_3)=T(S_2)+A\mathbf{p}& eeimg=&1&& ，平移量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Cmathbf%7Bp%7D& alt=&A\mathbf{p}& eeimg=&1&& 并不会改变面积的大小，故任然有 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cupsilon+%28T%28S_3%29%29%3D%5Cleft+%7Cdet+A+%5Cright+%7C%5Cupsilon+%28S_2%29& alt=&\upsilon (T(S_3))=\left |det A \right |\upsilon (S_2)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&2.2.2 Jacobian 行列式意义&/b&&/li&&/ul&&p&若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%7D& alt=&F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}& eeimg=&1&& 是可导函数，则Jacobian是一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&& 阶矩阵，因此可计算行列式。为方便说明，设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%3D2& alt=&n=2& eeimg=&1&& ，向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 将 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Du%5C%5C+%5Cupsilon+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{u}=\begin{bmatrix}u\\ \upsilon \end{bmatrix}& eeimg=&1&& 映射至 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dx%5C%5C+y+%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的Jacobian行列式为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=det+%7EJ%28u%2C%5Cupsilon+%29%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D+%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7D%5C%5C& alt=&det ~J(u,\upsilon )=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial \upsilon } \\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial \upsilon } \end{vmatrix}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial \upsilon } -\frac{\partial x}{\partial \upsilon }\frac{\partial y}{\partial u}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 表示 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7Ddu%5C%5C+0%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}du\\ 0\end{bmatrix}& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%5C%5C+d%5Cupsilon%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}0\\ d\upsilon\end{bmatrix}& eeimg=&1&& 表示长方形，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cupsilon& alt=&d\upsilon& eeimg=&1&& 都是微小的量。若 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cupsilon& alt=&d\upsilon& eeimg=&1&& 足够接近0，则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28R%29%3D%5C%7BF%28%5Cmathbf%7Bu%7D%29%7C%5Cmathbf%7Bu%7D%5Cin+R%5C%7D& alt=&F(R)=\{F(\mathbf{u})|\mathbf{u}\in R\}& eeimg=&1&& 近似如下面向量所形成的平行四边形：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28u%2C%5Cupsilon+%29%5Cbegin%7Bbmatrix%7Ddu%5C%5C+0%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Ddu%5C%5C+0%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7Ddu%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7Ddu%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&J(u,\upsilon )\begin{bmatrix}du\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial \upsilon }\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial \upsilon }\end{bmatrix}\begin{bmatrix}du\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}du\\ \frac{\partial y}{\partial u}du\end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28u%2C%5Cupsilon+%29%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%5C%5C+d%5Cupsilon%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%5C%5C+d%5Cupsilon%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon%7Dd%5Cupsilon%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon%7Dd%5Cupsilon%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&J(u,\upsilon )\begin{bmatrix}0\\ d\upsilon\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial \upsilon }\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial \upsilon }\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ d\upsilon\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial \upsilon}d\upsilon\\ \frac{\partial y}{\partial \upsilon}d\upsilon\end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&& 代表平行四边形 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28R%29& alt=&F(R)& eeimg=&1&& 的面积。因为二阶行列式的行向量所形成的平行四边形面积等于行列式的绝对值。&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=dA%3D%5Cleft+%7C+det%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7Ddu+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7Dd%5Cupsilon+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7Ddu+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7Dd%5Cupsilon+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cright+%7C%3D%5Cleft+%7C+det%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+u%7D+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cupsilon+%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cright+%7Cdud%5Cupsilon+%3D%5Cleft+%7C+det%7EJ%28u%2C%5Cupsilon+%29+%5Cright+%7Cdud%5Cupsilon+%5C%5C& alt=&dA=\left | det\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}du &\frac{\partial x}{\partial \upsilon }d\upsilon \\ \frac{\partial y}{\partial u}du & \frac{\partial y}{\partial \upsilon }d\upsilon \end{bmatrix} \right |=\left | det\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial \upsilon } \\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial \upsilon } \end{bmatrix} \right |dud\upsilon =\left | det~J(u,\upsilon ) \right |dud\upsilon \\& eeimg=&1&&&/p&&p&所以，微小区域 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 经向量函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 映射至 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F%28R%29& alt=&F(R)& eeimg=&1&& ，其面积伸缩了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%7C+det%7EJ%28u%2C%5Cupsilon+%29+%5Cright+%7C& alt=&\left | det~J(u,\upsilon ) \right |& eeimg=&1&& 倍。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&2.2.3 Jacobian 行列式用途&/b&&/li&&/ul&&p&Jacobian行列式最主要的应用在多重积分的换元积分法(integration by substitution)。令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&& 为一个连续实函数，且 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3DX%28u%2C%5Cupsilon+%29& alt=&x=X(u,\upsilon )& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3DY%28u%2C%5Cupsilon%29& alt=&y=Y(u,\upsilon)& eeimg=&1&& 是一对一可导函数。根据上述面积变化关系，可得到下面的变换积分公式：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7BF%28R%29%7Df%28x%2Cy%29dxdy%3D%5Cint_Rf%28X%28u%2C%5Cupsilon+%29%2CY%28u%2C%5Cupsilon%29%29%5Cleft+%7C+det%7EJ%28u%2C%5Cupsilon+%29+%5Cright+%7Cdud%5Cupsilon%5C%5C& alt=&\int_{F(R)}f(x,y)dxdy=\int_Rf(X(u,\upsilon ),Y(u,\upsilon))\left | det~J(u,\upsilon ) \right |dud\upsilon\\& eeimg=&1&&&/p&&hr&&h2&&b&3. Jacobian 与 Hessian&/b&&/h2&&p&设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5En+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}& eeimg=&1&& 为二次可导函数， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%28x_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%5ET%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5En%EF%BC%8Cn%5Ctimes+n& alt=&\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n)^T\in \mathbb{R}^n，n\times n& eeimg=&1&& 阶实对称矩阵 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=H%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3D%5Bh_%7Bij%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%5D& alt=&H(\mathbf{x})=[h_{ij}(\mathbf{x})]& eeimg=&1&& 称为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Hessian。定义入下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=H%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%5Cpartial+x_1%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%5Cpartial+x_2%7D+%26%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%5Cpartial+x_n%7D+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%5Cpartial+x_1%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%5Cpartial+x_2%7D+%26%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%5Cpartial+x_n%7D+%5C%5C+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%26%5Cddots+%26%5Cvdots+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%5Cpartial+x_1%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%5Cpartial+x_2%7D+%26%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%5Cpartial+x_n%7D+%5C%5C+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&H(\mathbf{x})=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} &\cdots &\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \\ \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&又 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 关于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf+%7Bx%7D& alt=&\mathbf {x}& eeimg=&1&& 的梯度(gradient) &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangledown+f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&\triangledown f(\mathbf{x})& eeimg=&1&& 定义为一个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 维向量，其中第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 个元素是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 对 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_i& alt=&x_i& eeimg=&1&& 的一次偏导数，即：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangledown+f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%5C%5C%5Cvdots+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&\triangledown f(\mathbf{x})=\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}\\\vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\\\end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&梯度 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangledown+f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5En+%5Crightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&\triangledown f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n& eeimg=&1&& 是一个向量函数， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangledown+f& alt=&\triangledown f& eeimg=&1&& 的Jacobian矩阵如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=J%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%29+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%29+%26+%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%29+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%29+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%29+%26+%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%29+%5C%5C+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%26+%5Cddots+%26+%5Cvdots+%5C%5C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_1%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%29+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%29+%26+%5Ccdots+%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_n%7D%29+%5C%5C+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C& alt=&J(\mathbf{x})=\begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_1}) &\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_1}) & \cdots &\frac{\partial }{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_1}) \\ \frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_2}) &\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_2}) & \cdots &\frac{\partial }{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_2}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial f}{\partial x_n}) &\frac{\partial }{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_n}) & \cdots &\frac{\partial }{\partial x_n}(\frac{\partial f}{\partial x_n}) \\ \end{bmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因此证明梯度 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangledown+f& alt=&\triangledown f& eeimg=&1&& 的Jacobian即为Hessian矩阵。&/p&&hr&&h2&&b&4. 参考&/b&&/h2&&p&周志成：《线性代数》，国立交通大学出版社&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/watch%3Fv%3DX84tMY_7hqU& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&youtube.com/watch?&/span&&span class=&invisible&&v=X84tMY_7hqU&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&
最近上课用到Jacobian，老师随口说了句：我们对这已经很熟悉了。想想其实并不然，本科时时学 Jacobian老师基本没细讲，只是让我们“背”住Jacobian公式，随后一系列练习题逐渐的对Jacobian越来“熟悉”，但只要深入一点点，就不知所云了。因此找了些资料重…
&p&(&u&&b&最新回答的更新，请看结尾处&/b&&/u&）&/p&&p&读懂深度学习论文背后的数学，也是我一直纠结和探索中的问题。以下，是我一路摸索的“挖到的宝贝”，希望能有一点帮助。&/p&&p&&u&&b&Goodfellow的深度学习花书&/b&&/u&，罗列了深度学习所需的所有数学知识，但内容是”蜻蜓点水“，因为他默认大家早已学过了；Khanacademy 潜心为所有人从0开始讲解，但感觉太耗时；Imperial College London这门课Mathematics for Machine Learning Specialization 是为机器学习量身定制，可能是恰到好处！&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-25b9cbc097f52f1298c5dd_180x120.jpg& data-image-width=&1200& data-image-height=&500& class=&internal&&深度碎片：超级推荐！Mathematics for Machine Learning&/a&&p&&u&&b&Mathematics for Machine Learning Specialization&/b&&/u& 讲了线性代数，微积分和PCA。如果想看中文直觉提炼版本，可参考我的图解视频。&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-25b9cbc097f52f1298c5dd_180x120.jpg& data-image-width=&1200& data-image-height=&500& class=&internal&&深度碎片：图解机器学习的数学基础专辑（完结）总结：who, why, what&/a&&p&其实，深度学习中还有大量概率知识，可以参考&u&&b&叶丙成老师的概率课&/b&&/u&和我的图解笔记&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=c_& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-9fed054b4f34b6f85012ac_ipico.jpg& data-image-width=&1156& data-image-height=&1288& class=&internal&&深度碎片：概率公开课图解笔记汇总（完结）&/a&&p&晨（补充）&/p&&p&要看懂深度学习论文的所有数学，&u&&b&学习时的心理策略&/b&&/u&，感觉也很重要。&/p&&p&深度学习让人神往，所以背后的数学障碍越大，越想一口气一次性实现“移山”，但我们不是机器做不到过目不忘，做不到从无数个维度上去找相关性，所以理解需要时间，“愚公移山”的长期坚持成为了必须。&/p&&p&如何克制一时冲动，实现长期坚持，这个真的感觉很难！&/p&&p&策略：从需求出发去学数学，带着论文，带着具体的应用，带着困扰的问题，去学对应的数学概念，（尽量克制自己一口气强迫式学习，否则每次都带来不少‘挫败感’，希望大家能幸免），这样能积累成就感，有助于坚持。&/p&&p&既然是带着问题去学，除了可以对照目录看看上述视频专辑是否有讲解对应的知识点，还可以去Khanacademy上搜索对应的知识点。&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.khanacademy.org/math& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Math | Khan Academy&/a&&p& 下午 （补充）&/p&&p&&u&&b&不专门去学上面的数学专辑和视频，能读懂深度学习论文中的数学部分吗？可以！&/b&&/u&&/p&&p&&u&&b&可以，但有前提&/b&&/u&：不论数学基础多么薄弱，如果能&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&直观理解吴恩达深度学习第1-4门课&/a&的数学讲解和推导，那么课程中介绍的CNN的经典论文，硬着头皮看（刚开始时建议每一段都坚持看2-3遍），也许你能懂得比你想象的多！&/p&&p&下面是我当初的尝试（当时尝试之前，我认为自己的数学是绝对看不懂论文的），也许你能给自己一个惊喜！&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-d6ae12b.jpg& data-image-width=&1506& data-image-height=&610& class=&internal&&深度碎片：要读懂深度学习论文，吴恩达课程中的数学够吗？&/a&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=&internal&&深度碎片：吴恩达深度学习课程（全）：掰开揉碎版&/a&&p&夜 （补充）&/p&&p&&u&&b&如何定义，“如何看懂深度学习论文里的数学原理部分“中的”看懂“？&/b&&/u&&/p&&p&背景不同，学习经历不同，起点不同，大家对“看懂”应该有各自的理解和定义；&/p&&p&我的“看懂”，侧重在对“数学部分”背后的直观直觉的理解（最适合初学者），即&/p&&p&“看懂“ = 能回答下面的4个问题&/p&&blockquote&论文中的模型的工作原理流程脉络是怎样的；&br&论文的核心卖点，即主要贡献（功能）是什么；&br&核心卖点（如果有数学部分）的数学表达的字面意思是什么；&br&数学表达的工作原理的直观理解是什么；&/blockquote&&p& 晨 （补充）&/p&&p&做了一份关于读深度学习论文数学部分感受的图解视频笔记（10分钟）&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.bilibili.com/video/av/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&图解CNN论文：尝试用最少的数学读懂深度学习论文&/a& p16 (第16个视频）&/p&&p&（大家还可以顺带看看刚刚做完的R-CNN论文的视频专辑）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac40a58a44ac14342e6fdd1b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2190& data-rawheight=&1394& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2190& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac40a58a44ac14342e6fdd1b_r.jpg&&&/figure&&hr&&p& 补充&/p&&p&最近开始看教材Machine Learning: A probabilistic approach，全书1000多页，可以找出10000个理由，有1000000次机会，说看不懂，不用看了；&/p&&p&比如，正文75页的这一段，压抑了一整天（对了，感觉这里的第一个公式有错误，如果有觉得这张图内容特简单的小伙伴，请帮忙详细解读以下公式3.16和3.18的逻辑，谢谢）&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-adf7344cf7fcb86ce65eb5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&1182& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-adf7344cf7fcb86ce65eb5_r.jpg&&&/figure&&p&不断的挫折和硬着头皮读了一段时候的感受&/p&&blockquote&有一定的基础后，关于“怎么读懂论文中（教材中）的数学”的问题，很多情况其实不是“懂不懂“的问题，而是跟自己的心理战问题，是时间问题，是“韧性”的问题：也就是，一次读不懂，能不能一周内反复读几次的问题。&/blockquote&&p&更多内容待续&/p&
(最新回答的更新，请看结尾处）读懂深度学习论文背后的数学，也是我一直纠结和探索中的问题。以下，是我一路摸索的“挖到的宝贝”，希望能有一点帮助。Goodfellow的深度学习花书，罗列了深度学习所需的所有数学知识，但内容是”蜻蜓点水“，因为他默认大家…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8eb70a5c0f27b5e8ae989f_b.jpg& data-rawwidth=&330& data-rawheight=&289& class=&content_image& width=&330&&&/figure&&p&&b&译者注&/b&&/p&&p&该文翻译自Natalie Wolchover于日发表于&b&量子杂志(Quanta magazine)&/b&的文章&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.quantamagazine.org/in-mysterious-pattern-math-and-nature-converge-& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&IN MYSTERIOUS PATTERN, MATH AND NATURE CONVERGE&/a&(&b&&i&只用于学术交流，严禁任何形式的商业转载&/i&&/b&)&/p&&hr&&p&从北极融冰到互联网，所有复杂的关联系统(correlated systems)似乎都受相同的数学(即，随机矩阵)支配。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bddd70428e55abe3b5aea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&429& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bddd70428e55abe3b5aea_r.jpg&&&/figure&&p&照片：Marco de Leija。在墨西哥库埃纳瓦卡(Cuernavaca)，“密探(spy)”网络使去中心化的巴士系统更加高效。因而，巴士的发车时间表现出一种普遍存在的模式，即“普适性(universality)”。&/p&&p&1999年，当坐在墨西哥库埃纳瓦卡的一个公交车站时，一个名叫Petr ?eba的捷克物理学家注意到有年轻人将一张张小纸片递给巴士司机来换取现金。他了解到，这并不是有组织的犯罪，而只是另一种影子交易(shadow trade)：每个司机都雇一名“密探”来记录他前面的巴士离开车站的时间。如果前面的巴士刚离开的话，他会减速，让乘客在下一个车站积聚。如果它早就离开了的话，他会加速防止其它巴士超过他。该系统使司机的收益最大化。这给了?eba一个想法。&/p&&p&?eba的合著者Milan Krbálek在一封邮件中解释道：“我们感觉这里与量子混沌系统存在某种相似性。”&/p&&p&几次试图与密探交谈失败后，?eba让他的学生向他们解释，他不是一个税务员或罪犯 – 他只是一个愿意用龙舌兰来交换他们手上数据的狂热科学家。那些人便提供了他们用过的小纸片。当研究人员在计算机上绘制出数千辆巴士的发车时间时，他们的怀疑得到了证实：司机间的相互影响造成了发车之间的间隔，从而表现出以前在量子物理实验中观察到的独特模式。&/p&&p&?eba说：“我一直认为这样的事情会出现，但当它真发生时我真的挺惊讶的。”&/p&&p&亚原子粒子与去中心化的巴士系统几乎没有关系。但自从发现这个奇妙的联系以来，相同模式也出现在其它不相关的环境中。现在科学家相信这种被称为“普适性”的普遍现象，来自与数学之间的深层联系，它正帮助他们建模从互联网到地球气候等复杂系统。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8eb70a5c0f27b5e8ae989f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&330& data-rawheight=&289& class=&content_image& width=&330&&&/figure&&p&插图：Simons Science News。红色图案表现出一种随机性和规律性之间的精确平衡，即“普适性”，这已经在许多复杂的关联系统的谱中被观察到。在这个谱中，一个被称为“相关函数(correlation function)”的数学公式给出了找到间隔给定距离的两条线的精确概率。&/p&&p&该模式在上世纪50年代铀原子核的能谱中首次被发现，这是一个由数百个运动部件组成的庞然大物，它以无穷多种方式跳动(quivers)伸缩(stretches)，从而产生了一个无限的能级序列。1972年，数论学家Hugh Montgomery在&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www-personal.umich.edu/%7Ehlm/paircor1.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黎曼ζ函数的零点&/a&中观察到该模式，黎曼ζ函数是一个与素数分布密切相关的数学对象。2000年，Krbálek和?eba&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//iopscience.iop.org/article/10.70/33/26/102/meta& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&在库埃纳瓦卡巴士系统中报道了该模式&/a&。近几年，该模式在诸如海冰、人体骨骼以及&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//arxiv.org/pdf/.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Erd?s–Rényi模型的信号动力学&/a&等复合材料的谱测量中也已经显现出来了，其中Erd?s–Rényi模型是一种以Paul Erd?s和Alfréd Rényi命名的互联网简化版本。&/p&&p&每个系统都有一个谱 —— 一个像条形码一样的序列来表示数据，如能级，ζ零点，巴士发车时间或信号速度。同样独特的模式出现在所有的谱中：数据看上去是随意分布的，但相邻的线之间彼此排斥，从而将一定程度的规律性引入到它们的间隔中。这种由一个精确公式定义的混沌与有序之间的良好平衡，也出现在纯数学背景中：它定义了一个非常大的由随机数填充的矩阵的特征值或解之间的间距。&/p&&p&哈佛大学的数学家姚鸿泽(Horng-Tzer Yau)说：“为什么这么多物理系统的行为表现得像随机矩阵仍是一个迷，但过去三年，我们在认知方面迈出了非常重要的一步。”&/p&&p&通过研究随机矩阵中的“普适性”现象，研究人员已经更好地理解了为什么它出现在其它地方以及如何使用它。在最近的一系列论文中，姚和其他数学家描述了许多新的随机矩阵类型，它们遵从各种数值分布和对称规则。例如，填充矩阵行和列的数字可以从一个可能值的钟形曲线中选择，或者简单地从1和-1中选择。矩阵的右上部分和左下部分或许是彼此的镜像，或许不是。一次又一次地试验发现，不管它们的具体特征是什么，随机矩阵在其特征值分布中都表现出同样的混沌但规律的模式。这就是数学家称之为“普适性”的原因。&/p&&p&耶鲁大学的数学家Van Vu说：“这似乎是一个自然法则”。他和UCLA的陶哲轩(Terence Tao)已经证明了一大类随机矩阵的普适性。&/p&&p&普适性被认为产生于一个系统非常复杂时，这样的系统由许多部分组成，这些部分彼此强相互作用而产生一个谱。这种模式出现在随机矩阵的谱中，比如，因为矩阵元素都进入了该谱的计算中。但Vu说，随机矩阵仅仅是有趣的“玩具系统(toy system)”，因为它们可以被严格研究，同时也足够用来建模现实世界系统。普适性分布极广。Wigner假说(以发现原子谱普适性的物理学家Eugene Wigner命名)断言，所有复杂的关联系统都具有普适性，从晶格到互联网。&/p&&p&慕尼黑大学的László Erd?s，他是姚众多合作者中的一位。他说，系统越复杂，相应的普适性也应该越健壮。“这是因为我们认为普适性是特有行为。”&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-56bf94edc4b3bb3f860dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&插图：Matt Britt。数学家正在使用随机矩阵模型来研究和预测互联网的一些特性，如典型的计算机集群的大小。&/p&&p&在许多简单的系统中，单个组件可能对系统的结果产生过大的影响，从而改变了谱模式。对于更大的系统而言，单个组件不起主导作用。Vu说：“这就好像房间里有很多人在决定做某件事，那么一个人的个性并不是那么重要”。&/p&&p&当一个系统表现出普适性时，它的行为表现得就像可以证明该系统是复杂的，足够相关的，可以被视为一个随机矩阵。Vu说：“这意味着你可以使用一个随机矩阵来建模该系统。你可以计算该矩阵模型的其它参数，并使用它们来预测系统可能表现得像你计算出的参数一般。”&/p&&p&这种技术使科学家能够了解互联网的结构和演变。这种庞大的计算机网络的某些特性，如一组计算机的典型规模，可以通过相应随机矩阵的可测量性质来精确估计。Vu说：“人们对集群及其位置非常感兴趣，部分是受广告等实际目的驱动的。”&/p&&p&一项类似的技术可能会导致气候变化模型的改进。科学家发现，与一种材料的能谱相似的特征中普适性的存在表明它的成分是高度相关联的，因此也表明它将导流、导电或导热。相反，普适性不存在可能表明材料是稀疏的，并充当绝缘体。一月份在圣地亚哥(San Diego)举办的&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//jointmathematicsmeetings.org/amsmtgs/2141_abstracts/8.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&联合数学会议(Joint Mathematics Meetings)上出现的新工作&/a&中，犹他大学的数学家Ken Golden和他的学生Ben Murphy，使用这种差异在微观层面上以及长达数千公里阡陌纵横的北极融冰中来预测海冰中的热传导与流体流动。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce6e1d46dfb3b8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&266& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&p&照片：Don Perovich。如图所示，当北极融冰足够相连时，它们表现出一种被称为普适性的性质。研究人员认为普适性是所有复杂的、关联系统共有的。&/p&&p&利用直升机采集来的融冰的谱测量，或利用冰芯(ice core)中海冰样本进行的类似测量，立马就能揭示每个系统的状态。Golden说：“通过海冰的流体流动控制或调节你需要理解的非常重要的过程，从而理解气候系统。特征值统计上的转换给出了一种全新的，数学上严格的方法来将海冰纳入气候模型中。”&/p&&p&同样的技巧也可能最终为骨质疏松症提供一个简单的测试。Golden，Murphy以及他们的同事发现，一个高密度、健康的骨骼谱具有普适性，而多孔、疏松骨质的骨骼谱则不具有普适性。&/p&&p&Murphy提及系统的组成部分时，说：“我们正在处理‘粒子’存在于毫米尺度或者甚至千米尺度的系统，同样的基础数学可以描述两者，这真的很令人惊奇。”&/p&&p&一个真实世界的系统将表现出与一个随机矩阵相同的谱行为的原因可能在一个重原子核的情况下是最容易理解的。包括原子在内的所有量子系统，都受数学规则，特别是矩阵规则的支配。一个退休数学物理学家，曾于上世纪60、70年代在普林斯顿高等研究院帮助发展随机矩阵理论的Freeman Dyson说：“这就是量子力学的全部。每个量子系统都由一个表示系统总能量的矩阵支配，并且矩阵的特征值是量子系统的能级。”&/p&&p&氢、氦等简单原子背后的矩阵，可以被精确地计算出来，产生的是与测量的原子能级惊人一致的特征值。但是与铀原子核等更复杂的量子系统相对应的矩阵，很快就变得非常棘手，无法掌握了。根据Dyson的说法，这就是为什么这样的原子核可以比作随机矩阵。铀中的许多相互作用 —— 它的未知矩阵中的元素 —— 是如此复杂以至于它们被洗刷掉，就像一个混合进噪音的混合音。因此，支配原子核的未知矩阵表现得就像一个由随机数填充的矩阵，其谱具有普适性。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ae03adbd65edef7ceb7ff1d0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&347& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ae03adbd65edef7ceb7ff1d0_r.jpg&&&/figure&&p&照片：Don Perovich。这些不相连的北极融冰没有形成一个足够相关以显示普适性的系统。相反，这样的系统能谱是随机的。&/p&&p&科学家还没有对为什么复杂系统中会出现这种特殊的随机但有规律的模式，而非其它模式产生直观的理解。Vu说：“我们只是从计算中知道这种模式”。另一个谜是它与黎曼ζ函数之间有什么关系，黎曼ζ函数的零点谱具有普适性。ζ函数的零点与素数分布密切相关 —— 即不可约化的整数，所有其它整数都可以用它们来构造。数学家长期以来一直在想一种随意的方法，就是把素数撒在一条从1到无穷的数轴上，普适性提供了一条线索。有些人认为，黎曼ζ函数背后可能有一个矩阵，它是复杂且足够相关的从而表现出普适性。哈佛大学数学家Paul Bourgade说，发现这样的矩阵对于最终理解素数分布将会“意义重大”。&/p&&p&但可能解释仍藏得很深。Erd?s说：“或许Wigner普适性和ζ函数的核心并不是一个矩阵，而是其它一些尚未被发现的数学结构。Wigner矩阵和ζ函数可能只是这种结构的不同表示。”&/p&&p&许多数学家正在寻找答案，但并不能保证有。Dyson说：“没人会想到库埃纳瓦卡的巴士就是这样的一个例子。没人会想到ζ函数的零点是另一个例子。科学之美就在于它完全不可预料，所以一切有用之物都是意外发现的。”&/p&&p&该文重印于&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.wired.com/2013/02/math-and-nature-universality/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&WIRED&/a&。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&李军&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&04/14/2018 写于上海&/b&&/p&
译者注该文翻译自Natalie Wolchover于日发表于量子杂志(Quanta magazine)的文章(只用于学术交流，严禁任何形式的商业转载)从北极融冰到互联网，所有复杂的关联系统(correlated systems)似乎都…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0a9e59babe9e43226c9bca_b.jpg& data-rawwidth=&1086& data-rawheight=&652& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1086& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a0a9e59babe9e43226c9bca_r.jpg&&&/figure&&h2&1， 胎儿MRI及其特点 &br&&/h2&&p&在产前影像检查中，超声是最常用的成像方式，但是由于对比度低、视野狭窄、信噪比低等原因不能不能很好地显示胎儿的细节结构，例如发育中的大脑、内脏等。如果超声检查中发现胎儿的一些疑似结构异常，使用MRI可以作为补充检查，提供更详细的结构信息，因为MRI有较好的软组织对比度，视野较大，信噪比高，无辐射，并且可以采集任意切面的图像信息，能看到一些超声中不易发现的结构。胎儿MRI正成为日益重要的一种影像检查。&/p&&p&但是MRI采集过程通常较长，而胎儿可能在这段时间会有运动，容易造成运动伪影。因此，临床上使用快速成像方式，比如SSFSE，该成像方式可以以不到一秒的时间得到一张高分辨率的二维切片，但是不同切片之间仍然受到胎儿的运动影响，相互之间有位移偏差，并且层间距较大，一般是3-4mm，因此得到的三维数据实际是由一堆二维切片叠起来的，称之为一堆（stack），其三维分辨率低，如下图所示。 &/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bee176f9d8f5eb1cc3b_b.jpg& data-rawwidth=&448& data-rawheight=&159& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&448& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bee176f9d8f5eb1cc3b_r.jpg&&&/figure&左图是一张胎儿大脑的二维切片（冠状面），中和右图是与之正交的两个其他方向（矢状面和横截面）的图像。可以看到除了冠状面以外，从其他方向看，图像受到胎儿运动的影响，分辨率也很低。&/p&&p&由于MRI可以从不同截面采集数据，通常胎儿MRI可以分别从冠状面、矢状面和横截面等三个正交方向进行采集，以得到分别在三个方向分辨率高的二维切片， 如下图中stack1-stack3。这三个stack提供了互为补充的分辨率信息，但都没有高的三维分辨率，并且相互之间由于胎儿或者母亲在扫描过程中的运动而没有对齐。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-18f56b2ef8f4a43db0593d_b.jpg& data-rawwidth=&1093& data-rawheight=&725& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1093& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-18f56b2ef8f4a43db0593d_r.jpg&&&/figure& 高分辨率重建的原则就是将stack1到stack3或者更多低三维分辨率的stack结合起来，产生一个在不同方向都具有高分辨率的图像，如上图中最后一行所示。&/p&&h2&2， 高分辨率重建的流程&/h2&&p&2.1
第一代方