大型矩阵（10w-100w自由度）矩阵特征值特征向量和特征向量怎么计算？有什么好的数值计算的算法？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-09 11:40 标签： 矩阵特征值和特征向量
第3章 矩阵特征值与特征向量的计算_百度文库
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第3章 矩阵特征值与特征向量的计算
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谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法。
将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
"带权无向图"这个词太学术了，我们换一种叫法，即：相似度矩阵。
假设我们有一个相似度矩阵，矩阵中存的是所有对象的两两相似度。
那么这个矩阵应该有如下性质：
矩阵为N * N，N为对象总数
矩阵对角线的值为0，自己和自己相似个毛啊
矩阵为对称矩阵，及相似度是无向的
我们将该矩阵记为：W。
谱聚类的任务就是根据这个相似度矩阵，将这一大堆对象，分成不同的小堆，小堆内部的对象彼此都很像，小堆之间则不像。
谱聚类本身也提供了好几种不同的分割(cut)方法，每种方法对应一种优化目标。
本文只介绍其中比较常见，也是比较实用，而且实现起来也比较经济的一种：Nomarlized cut.
说白了，就是你最应该掌握和使用的一种，好了，进入正题。
当你得到一个相似度矩阵W后，即可通过以下几个步骤，来得到对应的图分割方案：
1. 计算对角矩阵D[N*N]。，公式如下：
D矩阵为对角矩阵，对角线上的值为W矩阵中对应行或列的和。
2. 计算拉普拉斯矩阵(Laplacian) L：
归一化L矩阵
4. 计算归一化后L矩阵的K个最小特征值及对应的特征向量
将K个特征向量竖着并排放在一起，形成一个N*K的特征矩阵，记为Q。
5. 对特征矩阵Q做kmeans聚类，得到一个N维向量C。
分别对应相似度矩阵W中每一行所代表的对象的所属类别，这也就是最终的聚类结果。
关于第3步中，对拉普拉斯矩阵归一化时，归一化公式进行变换得到：
则在第4步中，我们可以将求L的K个最小特征值及其对应的特征向量的问题，转化为求矩阵E的K个最大的特征值及其对应的特征向量。
---可以证明：L的K个最小特征值对应的特征向量，分别对应于E的K个最大的特征值对应的特征向量。
且矩阵L的最小特征值为0，对应于矩阵E最大的特征值为1.矩阵L的第K小特征值等于1-矩阵E的第K大特征值
之所以要这么做，是因为在数值计算中，求矩阵的最大特征值，往往要比求最小特征值更方便和高效。
OK，至此，谱聚类就完成了，关于谱聚类的其他问题，诸如公式的推导，以及谱聚类的物理意义等，可参考博文：。
谱聚类的实现很简单，按照上述5个步骤按部就班即可，在matlab中只需寥寥数行：
function C = SpectralClustering(W, k)
[n,m] = size(W)
s = sum(W);
D = full(sparse(1:n, 1:n, s));
E = D^(-1/2)*W*D^(-1/2);
[Q, V] = eigs(E, k);
C = kmeans(Q, k);
在整个实现过程中，比较麻烦的就是E矩阵特征值的求解。
在自己实现时，可以调用已有的线性代数的包来完成这一步。
liuzhiqiangruc
浏览: 135667 次
来自: 北京
说得好！正好在 hashtable 那边存 bucket
哈哈~谢谢博主！有收获！
不就是 PHP 的实现么？
kite1988 写道关于模型迭代更新公式的regularza ...
关于模型迭代更新公式的regularzation部分，有一个疑 ...矩阵特征值与特征向量的计算_百度文库
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矩阵特征值与特征向量的计算
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第九章 矩阵特征值与特征向量的计算
数​值​分​析​ ​ ​做​的​很​好​大​家​可​以​看​一​看​哈
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