相似矩阵和若尔当形 - CSDN博客
相似矩阵的定义：A和B都是n*n矩阵，若存在某个可逆矩阵M使得B=M-1AM，则A和B是相似矩阵。在中曾经介绍过矩阵A可对角化为的形式（只有当A存在n个无关特征向量时才可对角化），假设现在A有n个无关的特征向量，也就是存在特征向量矩阵S，则对上面的对角化形式变形可得
，根据矩阵相似性的定义可知矩阵A相似于对角阵， 当把S换成另一个M就可得另一个B，而B也与A相似，因此选取不同的可逆阵M，可得到众多A的相似阵，当然在这些相似阵中，对角阵
是最好的，因为它是这一类矩阵里最简洁的。
相似矩阵到底相似在哪里？
我们可以先举个例子，假设A= ，根据特征值之积等于行列式3（行列式为2*2-1*1=3），特征值之和等于迹4（迹=2+2），因此矩阵A的特征值分别是3和1，所以其对角阵
，现在随便构造A的一个相似阵B，假如使&
，则 ，得到，AB互为相似阵，仔细观察可发现：A和B具有相同的特征值，即相似矩阵具有相同的特征值，为什么会这样？以下给出证明：
着手，由于B=M-1AM，则可在 两边同乘相同的数来凑成B的形式，化简过程为：
，这个式子表明，A的特征值
同时也是B的特征值，但是注意A和B的特征向量并不相等，B的特征向量等于M-1乘以A的特征向量x，到此就证明完毕，相似矩阵具有相同的特征值。
上面给的都是特征值没有重复值的情况，如果特征值有重复呢？此时的特征向量可能不再是线性无关的，矩阵可能无法对角化，这种情况需深入讨论，假设某一类2阶阵的特征值为
，比如矩阵：，虽然特征值相同，但这两个矩阵却不能归为相似，也就是说这两个矩阵不能归为同一类，只能单独成一类，而
和其他所有特征值为4,4的矩阵是一类，因为对于任意M，，也就是说
与任何矩阵都构不成相似阵，所以要将其单独考虑；另一类里包括所有特征值为4,4的矩阵，在这些矩阵中， 是最好的，最接近对角化形式，但又不完全是对角化形式，该形式称为若尔当标准型（Jordan
form），因为在这一类里所有矩阵都是相似的，因此其他矩阵都可以用 来表示，这就为先前那些无法进行对角化的矩阵提供了一种对角化方法，只不过这种对角化不是标准的对角化，而只是一种近似的，因为
不是严格的对角阵，但实际情况是一般矩阵很难化简为若尔当标准型，因为这依赖于特征值严格相等，必须确定所有的特征值，还需要确定矩阵的秩，假如矩阵的元素稍有偏差，特征值将不可避免的改变，秩也不可避免改变，因此数值计算上很不方便，但我们需要理解这个概念。矩阵的一个小问题_百度知道
矩阵的一个小问题
题一;sE-A/是A的特征多项式：哈密顿-凯莱定理的证明 A是数域P上的nn矩阵？不是直接把s=A代出来f(A)=&#47：什么叫一个矩阵可对角化？除主对角线上其余位置的元素都为0的矩阵?问题二;=&#47，f(s)=&#47？那主对角线是能否为0？问题三？比如说一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵是否是主对角矩阵;AE-A&#47，则f(A)=0我看书上证明怎么写这么多啊;A-A/=0吗：什么叫对角矩阵
请说明我错在哪？如果我说对了那哈密顿-凯莱定理不一眼就可以看出来了那还需要证明干嘛问题二补充？问题三补充：问题三如果我说错了：是不是所有矩阵都可以对角化？况且书上对哈密顿-凯莱定理的证明上上去还很复杂。这是怎么回事
提问者采纳
运算和性质都不同对角矩阵就是除主对角线外，这里关键的原因在于A是一个矩阵，使得X^(-1)AX为对角矩阵，其实不然。不能想当然的认为对数成立的式子对矩阵也成立;AC为对角矩阵，其它位置都为零的矩阵。另一种是合同对角化，一种是相似对角化，也就是存在可逆矩阵X。一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵也是对角矩阵。 矩阵可对角化分为两种，全零矩阵也是对角矩阵，使得C&#39，对角线上是否出现零没有关系。或者等价的定义为满足A&#39。 我们一般所说的对角化指相似对角化 不是所有的矩阵都可以相似对角化。也就是存在可逆矩阵C，矩阵和数有很多不同。 在刚学习哈密顿-凯莱定理时;=A的矩阵 对角矩阵只要求对角线以外的位置都为零。要另行对矩阵的情况重新进行严格的证明，不是一个数。所有的矩阵都可以合同对角化，所以是不能直接代入的，很多学生认为是想当然成立的，但任何矩阵都可以相似化为若尔当标准型
提问者评价
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2.就是经过矩阵等价变换可以成为对角矩阵的就叫一个矩阵可对角化31.n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵不是主对角矩阵
1、对角矩阵，主对角线为任意常数，其余都为0.a11=1,其余都为0，是。 2、一个矩阵可以将它初等变化为对角矩阵,即错在可逆矩阵P，使得P-1AP=B,B为对角矩阵。 3、是的。
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全对称实可逆矩阵的逆矩阵的一种求法
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全对称实可逆矩阵的逆矩阵的一种求法
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本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：&&
第二十九课时：相似矩阵和若尔当形
本讲介绍相似矩阵，两个矩阵相似意味着什么。
回顾上讲内容，正定矩阵有xTAx&0，也可直接通过特征值，主元或者行列式来做判断。
假设A是一个正定矩阵，它是一个对称矩阵，那么A的逆矩阵也是对称的，而且，A的逆的特征值等于原矩阵特征值的倒数，如果能判断原矩阵是正定的，那么它的逆也能确定是正定的。
如果A,B都是正定矩阵，那么A+B也是正定的。证明：已知xTAx&0，xTBx&0，那么xT(A+B)x&0。
实际上大量的物理问题需要用长方形矩阵描述。
正定矩阵从何而来？它来自最小二乘法。最小二乘的关键在于矩阵ATA，可证明它是一个正定矩阵。
假设有长方矩阵Am×n，那么ATA是对称矩阵。
= (Ax)T(Ax) = |Ax|2&&=
0，当Ax为零向量时等式等于0，Ax=0，如何保证A的零空间里只有零向量？
当A各列线性无关，rank(A)=n时，零空间只有零向量。此时，ATA是正定的，最小二乘方程将存在最优解。
正定性把以前的内容都串联起来。现在要进入线性代数最核心的内容了。
相似矩阵
A和B是两个n×n方阵，如果存在某个可逆矩阵M，使得：B=M-1AM，那么A和B是相似的。
其中任意两个互为相似的矩阵满足上述等式。
假设A有无关的特征向量，通过特征向量矩阵S，有：S-1AS=Λ，那么A相似于Λ。对角阵是这类矩阵（互为相似矩阵）中最与众不同的。它是这类矩阵里面最简洁的一个。矩阵A的所有相似矩阵里面，Λ是最好的，还有许多其他矩阵与A相似。我们可以用任意的可逆矩阵M代替S,都得到一个新的矩阵，这个新的矩阵与A相似。那么A与其他所有的相似矩阵的共同点是什么？
性质1）相似矩阵具有相同的特征值；（注意特征向量并不相同）
具有相同特征值的一类矩阵，两个矩阵之间由一个可逆M联系起来，这类矩阵里面最特殊的就是对角阵Λ。为什么相似矩阵具有相同的特征值？
有Ax=λx，假设λ是A的特征值，那么AMM-1x=λx，等式两边同时乘以M-1，M-1AMM-1x=λM-1x，同时有B=M-1AM，所以前面的式子化为：BM-1x&=λM-1x，此等式表明λ是B的一个特征值。由此也可得性质2.
性质2）B=M-1AM，&B的特征向量等于M的逆乘以矩阵A的特征向量；
对角阵Λ是A的最简单特殊的相似矩阵，Λ的特征向量为(1 0),(0 1)。
有一种坏情况
当矩阵A有重复的特征值，那么意味着A的特征向量会共线，矩阵可能无法对角化。
假设A的特征值：λ1=λ2=4，A=([4 0],[0 4])，那么M-1AM仍旧为A，这样的对角矩阵是单一的一类矩阵，它的相似矩阵只有自己。
另一种情况，如上，下部分，λ1=λ2=4，这是一个无法对角化的矩阵，它可以找到一类矩阵与它相似，如果把右上角的元素换成10或者其他的数，也是一样的能找到相应的M使之与其相似，但右上角是1的特征值重复的三角矩阵称为若尔当标准型Jordan form。若尔当标准型是最接近对角阵的一个，但又不完全对角化。
对于之前无法对角化的矩阵，都可以通过某种特殊方法，完成近似的“对角化”。如果想要对角化任何矩阵，则必须学习这种方法。
另一类相似矩阵：他们的迹和行列式相等。比如下面的，他们的特征值相等，且所有的特征值都是重复的。
另一类矩阵，若尔当认为它们并不是相似的。
如下第一个矩阵，λ1=λ2=λ3=λ4=0，特征向量为整个零空间，零空间是二维的。如果把第一行的第三个元素改为7，特征值仍然相等，特征向量个数仍然相等，修改过的矩阵和原先的矩阵相似，但因为之前的矩阵很美观，所以选择前者。注意对角线上的1，每增加一个1，特征向量就减少1个。
第二个矩阵,4个特征值仍然全为0，特征向量的个数为2，但若尔当认为第二个矩阵并不相似与第一个矩阵。第一个矩阵由3×3的矩阵和1×1的矩阵若尔当块组成，第二个矩阵由两个2×2的分块组成，这些分块称为若尔当块。因为若尔当块大小不一样，所以若尔当认为两个矩阵并不相似。
若尔当块：Ji表示i阶的若尔当块，它只有一个重复的特征值，对角线上全是λi，下面是0，上面是1，它的对角线上都是同一个数，只有一个特征向量。即，每个若尔当块只有一个特征向量。
若尔当阵J：由若尔当块构成的矩阵，特征值位于对角线上，对角线上方有若干个1，若尔当块的数量等于特征向量的个数，因为每一块对应于一个特征向量。
若尔当定理：每个方阵A都相似于一个若尔当阵J。如果方阵A有n个互不相同的特征值，那么它是一个可对角化的矩阵，对应的若尔当阵就是对角阵Λ，J=Λ，d=n。
若尔当研究了所有情况，包含特征值重复的情况，此时特征向量的个数变少，这就是若尔当的理论。
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