如图如图 在四边形abcd中和四边形EAFC的顶点D,B,E,F,在同一条直线上，求证:△ABF≌△CDE

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-03-24 22:42 标签： 如图 四边形abcd中
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E,B,C,F在同一条直线上,且EB=BC=CF,求证：AF⊥DE_百度作业帮
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E,B,C,F在同一条直线上,且EB=BC=CF,求证：AF⊥DE
证明：设AB、DE交点为G,AF、DC交点为H,连接GH,则：在△ECD中,EB=BC,且BG∥CD所以BG是△ECD的中位线,所以BG=CD/2 ,同理可证：CH是△ABF的中位线,CH=AB/2由四边形ABCD是平行四边形,知AB=CD,所以AG=BG=CH=DH由AG=DH,又因为AG∥DH,所以四边形AGHD是平行四边形又因为AG=AD=BC=AB/2所以四边形AGHD是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形）所以AF⊥DE （菱形的对角线互相垂直）
假设AB交DE于Q点，DC交AF于P点，连接PQ因为ABCD是平行四边形，所以AD=AB，AD平行于EF。又因为EB=BC我们有AD=EB。所以AQ/BQ=AD/EB=1所以Q是AB的中点，而AQ=1/2AB=BC=AD。同理可证。P是DC的中点。所以QP是三角形AFB的同位线，所以QP//BC//AD又因为AB//DC所以ADPQ是一个平行四边形。又因为AQ=AD，所以平行四边形ADPQ是一个菱...初三复习基础练习19_百度文库
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20080份文档阅读与证明：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，
求证：BF+DE=EF．
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A&F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
（1）请你将下面的证明过程补充完整．
证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：y=-x+30．
（1）证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△A4F≌△ADF’（SAS），
∴AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，
∵∠F′AE=∠F′AD+∠DAE=∠BAF+∠DAE=∠DAB-∠EAF=45°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠F′AE=∠EAF，
∴△AEF≌△AEF′，
∴EF=EF′=ED+DF′=ED+BF；
（2）解：设BF=a，则CF=30-a，EF=ED+FB=15+a，
在Rt△CED中，根据勾股定理得：EC2+CF2=EF2，
∴152+（30-a）2=（15+a）2，
∴F为BC的三等分点，
∴F（30，10）；
（3）解：当CE=CF时，EF最短，此时△CEF为等腰直角三角形，
设F坐标为（30，b），可得FB=b，
∴CF=CE=BC-FB=30-b，
∴EF=（q0-b），
又EF=FB+DE，∴（3l-b）=2b，
解得：7==30-30，
∴FB=DE=30-30，
∴E（30-30，30），F（30，30-30），
设直线EF的解析式为y=k6+b，
将E和F的坐标代入得：
则直线EF的解析式为y=-x+30．
故答案为：y=-x+30．
（1）延长EDF′，使DF′=BF，由ABCD为正方形，根据正方形的四条边相等得到AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，利用SAS可得出三角形ABF与三角形ADF′全等，根据全等三角形的性质得到AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，由∠EAF为45°，得到∠DAE+∠FAB=45°，等量代换可得出∠EAF′=45°，然后利用SAS得到三角形AEF与三角形AEF′，利用全等三角形的对应边相等得到EF=EF′，而EF′=ED+DF′，再将DF′换为BF即可得证；
（2）设BF=a，由CB-FB表示出CF，由EF=ED+FB表示出EF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值为10，可得出F为BC的三等分点；
（3）当CE=CF时，EF最短，此时△CEF为等腰直角三角形，由题意设出F（30，b），即FB=b，由CB-FB表示出CF，即为CE，由EF=BF+DE=2BF=2b，在直角三角形CEF中，由表示出的CF与CE利用勾股定理表示出EF，可列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出E与F的坐标，设直线EF的解析式为y=kx+b，将E和F的坐标代入得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，进而确定出直线EF的解析式．已知：如图E,F分别为平行四边形的边CD,BC上的点,且BD平行EF,求证：S△ADE=S△ABF_百度作业帮
已知：如图E,F分别为平行四边形的边CD,BC上的点,且BD平行EF,求证：S△ADE=S△ABF
证明：延长AB交EF延长线于M,延长AD交FE延长线于N∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC,AD//BC【平行四边形对边平行】∴∠NDE=∠C=∠MBF【两直线平行,内错角相等】∵EF//BD,点M和点N在直线EF上,即MN//BD∴四边形BDEM和四边形BDNF都是平行四边形【两组对边分别平行的四边形是平行四边形】∴DE=BM,DN=BF【平行四边形对边相等】∴△DNE≌△BFM（SAS）∴S△DNE=S△BFM【全等三角形面积相等】& & NE=FM【全等三角形对应边相等】∵NE和FM在同一直线上∴△ANE和△AFM等底同高【等底：NE=FM；同高：过A点只能作一条直线与MN垂直】∴S△ANE=S△AFM∵S△ADE=S△ANE-S△DNE& & S△ABF=S△AFM-S△BFM∴S△ADE=S△ABF& &如图所示,已知D,E,F,B在同一条直线上,AB∥CD,AB=CD,BF=DE.试说明(1)AE=CF,AE∥CF(2)∠AFE=∠CEF_百度作业帮
如图所示,已知D,E,F,B在同一条直线上,AB∥CD,AB=CD,BF=DE.试说明(1)AE=CF,AE∥CF(2)∠AFE=∠CEF
AB∥CD∠B=∠D因为 BF=DE所以 BF+EF=DE+EF即BE=DFAB=CD∴△ABE∽△CDF(SAS)∴AE=CF,所以∠AEF=∠DFCAE∥CF(2)由（1）知四边形AECD是平行四边形所以AF//CE所以∠AFE=∠CEF
D,E,F,B在同一条直线上,AB∥CD,AB=CD,BF=DE∠B=∠DABF全等CDECD＝AFBE＝DFCDF全等ABECD＝AEAFE全等CEF∠AFE＝∠CEFAE∥CF
AB//CD∠B=∠D BF=DE
EF=EFBE=DF△DFC≌△BEAAE=CF∠DFC=∠DEAAE//CF（内错角相等，两直线平行）四边形AEFC是平行四边形AF//CE∠AFE=CEF(两直线平行，内错角相等)
因AB=DC且AB||DC
BF=DE所以三角形ABF与三角形DCE全等，则AF=EC，角AFD=角CEB，所以AF‖EC，AFCE为平行四边形，AE=FC
∵AB//CD∴∠B=∠D又∵BF=DE∴BF+EF=DE+EF即BE=DF又∵AB=CD∴△ABE全等于△CDF【边角边全等】∴AE=CF，∠AEB=∠CFD【全等三角形性质】∴AE//CF【内错角相等，两直线平行】∴四边形AEFC是平行四边形【对边平行且相等，四边形是平行四边形】∴∠AFE=∠C...
∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDF，又∵AB=CD,BF=DE∴ΔABF≌ΔCDE(SAS)∴AF=CE，∠AFB=∠CED，即∠AFE=∠CEF又∵EF=EF∴ΔAEF≌ΔCFE(SAS)∴AE=CF，∠AEF=∠CFE，即AE∥CF
证明：（1）已知D,E,F,B在同一直线上，且BF=DE，则BF+FE=DE+EF，即BE=DF。又AB∥CD，则有∠ABE=∠CDF，在三角形ABE和三角形CDF中，AB=CD，可以得到：△ABE≌△CDF
（边角边），因此AE=CF,且∠AEB=∠CFD，于是AE∥CF。（2）由上结论得到：在三角形AEF和三角形CFE中，AE=CF，EF=FE，∠AEF=∠CF...

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