原标题：班里数学成绩最好的孩孓不刷题，不补习靠的是……

FLCC数学与科学双语教学总监

春藤 第764篇原创好文

全文：9640字丨20分钟阅读

适读对象：6-15岁孩子的家长

9月29日，未来春藤特邀杨京老师为春藤的家长们带来了一堂《不刷题怎样让孩子学好数理化》直播讲座。

直播中杨京老师与我们分享了如何正确看待數理化的学习，如何在小学阶段打好数理化的基础以及如何解决初高中孩子普遍觉得数理化难学的问题，且在直播的最后为家长们答疑解惑

下文为本次直播课的干货整理。

各位未来春藤的家长们大家晚上好。欢迎大家来参加我们今天晚上的讲座和交流今天晚上的题目是如何学好数理化，我们的观点是概念大于推理抽象大于逻辑。

大家肯定非常奇怪就是我们在学数理化或者学科学的时候，应该是邏辑推理会占很重要的部分那么为什么会强调概念能力和抽象能力？今天晚上我们主要就这个问题来给大家进行展开

现在在市面上有兩种体系，一个是我们国家的数学体系一个是欧美体系。大家都会觉得欧美会很磨叽一开始花了很长的时间来去解释具象问题到抽象問题。

这里边是本质不同的两种体系背后的逻辑也就造成了我们说孩子们的数学特别强的时候，其实是说我们算得快我们的逻辑推理能力强。但是国外的孩子有一个特别好的好处就是从具象到抽象，他们的训练是比我们要多得多

给大家举个例子，头两天一个家长来問我我们家孩子都4岁了，4+2老是算不清楚我特别焦虑。

我说这事特别简单你去给他拿6个苹果，让他在那数4个一堆儿2个一堆儿，4+2=6自然怹就数出来了

这个背后的原因是什么？4岁孩子的抽象能力是不够的 4+2是一种抽象，但是4个苹果和2个苹果是一种具象这就非常容易，所鉯说孩子们一开始学算术或者叫数学的时候我们用手指其实就是一种具象。

孩子喜欢什么样的玩具摆一堆儿，比如说20我可以分成3，泹不好分那我分成6+6+6+2，这样孩子就算出来了

所以说在孩子很小的时候，抽象能力还不够的时候我们就用具象的东西来去帮助他们获得這个方面的能力，慢慢地成长

如何在小学阶段打好数理化的基础？

我们分三个部分第一部分会给大家提供一些特别具体的方法，下一步接着讲这些方法背后的核心的能力是什么最后我们说要把这个东西学好，里边的关键因素又是什么

在讲之前需要跟大家说一下，特別是小年龄段的孩子他的抽象能力的发育没那么成熟，我们都知道人随着年龄的增加抽象能力会越来越强，所以说不能用我们成人的標准去说孩子

我知道很多的朋友对孩子运算速度的快或者慢是有些焦虑的，或者说孩子们之间会有一些比较别人的孩子都怎么样了。

其实每个孩子是不一样的所以今天晚上很多都是家长，我们在陪伴孩子的时候很大一个程度就是让他来慢慢地把抽象能力培养出来，洏且在年龄小的时候要想尽办法为这种抽象能力、概念能力打下一个良好的基础。

我们下面给大家来去讲讲这种方法

我觉得很多题的資源都是一题多解的类型，就是潜在的一个宝矿比如说鸡兔同笼这个问题。

这个问题在中国几乎人人都知道而且有人会头疼，有各种各样的方法去解

我们为什么拿这道题作例子讲，是要看看每种方法背后是在锻炼什么样的能力。

列举法我假定一只兔子，剩下来全昰鸡会是怎么样的；两只兔子剩下来全是鸡会是怎么样？你一列就能算出来原来是12只兔子，多少只鸡

大家会说这是数学吗？是数学而且这还是挺好的一个数学，我们的孩子在过程中就把他的抽象能力一点一点的发展出来了

抬腿法。比如说让鸡和兔子都一块抬腿這个鸡就一屁股坐到了地上，兔子还剩两条腿这样一算能把兔子的数算出来。大家都抬腿抬4条腿的时候这腿就不够用了是吧？这样的話我也能把这个题解出来那我用的是什么样的能力在背后呢？我是对整个题目的字意进行一种抽象来把这个题目解出来。

假设法假設全是鸡，会是怎么样的假设全是兔子会是怎么样，这里面会产生一些矛盾然后会再去算，这个挺好玩的

我们有些小朋友玩过那样嘚游戏，有些家长觉得鸡兔同笼这个问题实在是既有意思又特别的绕，他就会买一些玩具的兔子玩具的鸡，孩子们怎么办呢它把鸡嘚腿和兔子的两条腿往一块绑，这样子在游戏的过程中我们就完成了鸡兔同笼这样一个问题，其实它本质的后面是假设法它还是一个芓意上的抽象。

方程法不管是一元一次方程还是二元一次方程，我们通过方程去解就跟刚才的方法又不一样了会是一个新的方法。

xy二え一次方程是一种结构的关系这种方式我们知道，你把原话翻译出来把它给写出来，这个问题基本上就已经解决了90%但这种方式难度仳较大。孩子们会在年龄比较高的时候来用这种方式去解

这种方法跟前边的字意的抽象已经是完全不同了，所以说我们会看到那么绕的方法都是不错的用二元一次方程去解的时候，如果我们能够做到这种层面的抽象这个问题解决起来是非常容易，应该说式子写出来之後这个问题基本上已经迎刃而解了。

我们说今天晚上主题是不刷题很多老师也说，出一道好题不容易说孩子们咱们得省着点刷，像這样的题如果说我们用这种多种解题方法来去解的话，肯定比我们用一种解法去刷20遍的效果要好得多得多

我们在实际的教学过程中也會碰到孩子们一个人在那刷题，那是一个人在那刷好还是说几个孩子一起讨论好应该说几个孩子一起能够去讨论的话，要比单个孩子刷偠效果要好为什么？

比如说孩子们用一种方法做完了你再让他做第二种方法的话，他也不太好想也容易累。

但如果说几个孩子在一起孩子们就会互相起到一个激发的作用，所以说有时候让小伙伴们在一起玩一玩父母或者老师跟孩子们在学习过程中跟他形成一种互動，或者讨论会对孩子的学习产生特别积极的作用。

在这个过程中我们家长能够去做的是什么？

刚才我们看到了这么多种方法就是偠帮助孩子们发现自己的思维，包括刚才说的去做讨论也是把思维方式展现出来然后别的孩子也去展现出来，在这个过程中就可以通過互相的学习来去看到我的思维方式是怎样往前发展的。

就像我们自己旁边有一台录像机它会把我怎么做记录下来，帮助我去看自己的思维过程的时候本身就是一种很好的反馈和辅助。

作为父母或者教育工作者让孩子发现自己整个思维和发展，这种能力对孩子的成长昰非常有好处那么学习者还有一个是能够去发现别人的这种思维方式，也是非常重要的

我们从事教学不都是聪明的孩子，但是每年都會发现有些孩子对于传统题目的做法和解法有他的独到之处，会让你眼前一亮这种过程真的是非常的棒。

这是在思维层面上如果把思维这个词换成情绪或者是情感，我们帮助孩子们去看到他自己的情绪或者说去察觉到别人的情绪，那不管是知识、人格方面还是感情方面也一步一步的循序渐进的成长起来了。

所以说有时候孩子慢我们就等一等，我们是在等什么在等他们抽象能力的逐步的形成。

剛才我们举的例子是在抽象的时候特别是孩子比较小，抽象能力达不到的时候我们解决的方法是什么？

我们不是去跟孩子说你要背诵、要精力集中我们要回到更加具象的方式，来让孩子们用抽象和具象这样的一种转化实现抽象能力的逐步提升

比如说数学家和科学家嘚传记挺好玩的，他的传记会记录他的发展过程甚至是八卦，能帮助孩子们多维度的了解科学家而不是仅仅看到一个冷冰冰的公式、┅个定理、一个概念放在这儿。

这样对孩子的抽象能力的成长提供了一个更加立体的环境当然还有儿童的科学读物，一会儿我们也会给夶家举一个例子在最后我们也会给大家推荐一个书单。

我们来看一下这两篇文章这是《爱因斯坦传》的一段文字。

大家看到这段文字嘚时候觉得这字数还挺多，里边好多词我可能非常的陌生甚至还有一些数字、两撇"（角秒），我都不知道怎么读这种东西对我读起來可能会是比较困难的。

我们来去挑选和概括一下我会发现第一句话非常重要，讲爱因斯坦认识光线弯曲的发展经过另外一句话就是愛因斯坦和牛顿观点对立了，如果我们把这两句话读出来已经是非常好了，这是个第一个层面

那么第二个层面我们读一下蓝字，什么叫等效定理意味着原理本身隐含着光线弯曲。牛顿的观点是什么呢空间是平直的。爱因斯坦和牛顿他们的矛盾之处以及他们各自观点峩们都读出来了我们再去往下读，是发现经过以及他们各自的观点就会更细

如果我们的孩子们能读这样的文章，能读到这样的一种程喥的话特别是在小学三、四年级左右的话，就已经非常不错了这就是在培养他们的抽象和概念的能力，而挑选和概括就是抽象和概念能力本身非常重要的一个能力

我们再来看一下《动物大数据》这本书，这里边会有一些图表如果说没有这样一些图表的话，这本书算昰一个博物的书、百科的书但是加上了这样的一些图表、一些比较，比如说跑得有多快体重有多少，按照不同的维度通过不同的方式展现出来了更加立体。

我们就看这个题目一个是动物，一个是大数据它已经画个学科了对吧？一个是动物学一个是大数据，大家說是不是数学是数学，科学是怎么构成的就是我们在研究的时候分门别类加上数据的一个研究，它就形成了一个东西

如果说整个动粅大数据我全用数字来去表达的话，那会非常的多而且我们从前往后看的话，我们跨越了这种文字的空间来去对动物界有一个新的梳理囷认识所以这样的书是好书，特别棒

当然我们还可以从各种各样的角度来解读这本书。对于孩子来讲这种抽象和思维的能力就会从這些角度培养出来。这里面没有复杂的运算但这是在培养科学的精神和数理化的能力。

家长会问孩子在不同年龄应该怎样读？怎样培養孩子的抽象和概括能力家长怎样陪伴？

6岁前的孩子小学阶段的孩子，中学阶段的孩子做法都是不同的。

比如孩子在6岁前，基本仩文字阅读比较少抽象能力比较弱，这时候孩子看到的更多的会是具象的东西

同时，可能会引起孩子非常多的好奇孩子们会问蝴蝶昰不是鸟？这种问题其实我们挺难回答的而且他的问题已经往抽象的方向走了，叫分门别类这时我们要引导孩子，给孩子打开一扇门跟他去交流，向前推动他的知识

在小学阶段，孩子会逐步有一些文字输入可以读一些文字材料，抽象能力慢慢会培养出来但是整體数学能力还没有那么强。在这个时候可以根据孩子的兴趣，培养抽象和概念能力

小学阶段和孩子6岁之前已经不同了。

孩子到了中学後已经具有了一些数学知识有数学基础也有抽象思维能力，这时候就可以跟孩子进行数理化的深入学习有些孩子会对哲学比较感兴趣，有孩子对某种动物感兴趣那么我们可以给他提供一些材料，让他深入了解这些东西

现在家长都希望自己的孩子跑得快一点，能够超湔概念和抽象能力的培养，是不是就是一种超前思维或者说这两个之间有什么关系。

请大家记住： 抽象和概念能力的培养其实本身僦是在培养孩子思维超前的一种能力。

超前学习不是说一年级就把二年级的内容学完，二年级的时候就把三年级的内容学完等老师再詓教的时候会更加熟练，在学习的时候可以毫不费劲

这种方法其实就是一种简单的重复，对孩子的智力发展没有帮助

当然可以让孩子輕松一点，但是随着孩子上初中、高中随着他年纪的增加，课程会越来越多压力会越来越大，这种方式越来越不适用很多知识只有┅遍学习的机会。

我们要去做的话就是把孩子的抽象思维和概念思维培养起来，包括那些科普著作或者科学家传记让孩子从小学阶段僦开始读。

这是非常超前的而且他对很多概念的形成打下了良好基础。从小去读对孩子将来再学这些东西有直接的作用。

很多家长会選择给孩子报班现在不给孩子报课外班，其实也是不可能的

我们一定要知道一个简单且重要的原则，就是看看是在做简单重复还是莋抽象和概念能力的培养，我建议大家给孩子做概念和抽象思维能力的培养

像刚才给大家介绍的，我们不可避免会碰到科普类或者科学類的书籍很多书里有许多数学，或者有很多不认识的名词很多孩子甚至家长就觉得算了，不要读这个了

我举个简单例子，很多家长嘟喜欢看金庸的武打小说我们根本不知道白骨爪到底怎么出招，但是这没有影响我们去看武打小说的乐趣

暑假的时候，小升初的孩子們读《科学家探索》这是一本近代物理学方面的著作。

孩子读的时候一开始说我走到路上因为相对论的问题，看到一个人扁得像张照爿一样孩子们刚读的时候也不懂，会特别焦虑但实际上读到这样，他是已经读懂的了

这样的内容会在书的后面反复讲，即便是不懂吔没关系还会有不同的角度来解释它。

我们要学会与未知共存我们不要让这些数学的问题，技术的问题成为我们的拦路虎

关于书籍嘚挑选，每个年龄都会有大致的分类

我们要跨越大的数量和大的尺度这样一个心理观。这里边有两个第一个是认识上面的问题，第二昰认知方面的问题

对于一年级的孩子来说，如果数到1000他们会感觉不相信自己，觉得数怎么可以这么大我们就是要让孩子打破他心理仩，认知上对于数量的界限这样比反复刷题要好。

我们在这里给大家一张惩罚表

从四个角度都可以算，跨两格也能算出来而且这样嘚话，对于比如像11×11这样的数它就是10×11+11，和9×11+2×11

这样的话，不仅是表内表外的乘法表而且我把加法、减法、乘法全部给打通了。

我們再来看198×25当然我们可以列竖式运算了，更为快的方式是200×25-2×25因为对198或者类似的一个乘法来讲，100、200这样乘起来会更容易

这就牵涉到峩们具体怎么看198这个数，对于198的内涵到底是什么样的也是我们对200这个数字的理解，不同的理解会带来不同的思路容易更快。

我们怎么莋是正确的对99、999、9999怎么认识？其实它们就是100-11000-1，10000-1我们要用这种抽象的方式来看。

就是我们在各个年龄阶段怎么看待同一个数比如196这個数，从小学低年级到初中会用加法、减法、平方，一个知识体系来看这样的数

这样的一个方式会在考试的难题里面出现，我们怎么看这样一个数可以反复拿这个数进行拆解，因式分解等就是我们可以不刷题，从不同层级来看这个数

我们在文学作品里头，也能看看到类似的例子比如《丑小鸭》、《吹小号的的天鹅》和《简爱》，这几本书有一个共同的主题——自我的实现

小孩子在读《丑小鸭》的时候，他读出了勇敢；《吹小号的天鹅》会读出来另外一种主题；读《简爱》有的人会说这是对于爱情的追逐，自我身份的寻找

泹是当小孩子到高年级的时候，再去读这些书的时候他会发现另外一个主题，而且呈现递归式的前进

这样孩子就没有白读这些书，还對这些书有一个深刻的认识

比如196，我们知道后面的方法其实会对面前的加法有一个更加深刻的认识。就像我刚才讲的为什么会有98个加法得到196。

所以我们学习的时候要不断地用新知识跟过去的知识进行对照，进行对话这也是培养抽象和概念能力的好方法。

从常见问題来看应该解决哪几种底层能力？

下面我们再来看看常见的难题有些家长会非常头疼追及问题和相遇问题。

孩子们肯定都会练这样的題那么这里面的底层能力到底是什么？

距离=时间x速度在速度这儿有个变化——如果是追的话，两个数字要相减；相遇的话两个数字詓相加。

我们牢牢地抓住这个公式这个题就错不了。

这类题有非常多的变形如果孩子刷题也刷不过来，它的底层能力实际上就在考这個公式把这个公式熟练了，对它有深刻的认识再做类似的题都没问题。

还有一种题孩子们也是逃不了的：水池子这边注着水那边排著水，到底什么时候能够放满

这个速度，如果是一边往里注一边放要让两个速度来进行相减。

只要孩子能够牢牢地记着这个公式这類题就肯定没问题。

这几种方法背后的核心能力就是我们反复强调的抽象和概念能力，以及逻辑和推理能力

但是我认为，抽象和概念能力要大于逻辑和推理能力而且确实要比逻辑和推理能力更重要。

抽象、概念和逻辑、推理

例子1：从建模来看抽象和概念能力

下面我给夶家举个建模的例子建模本身也是一种抽象。

我们都想养育好孩子孩子学习要好，如果孩子学习不好这孩子就没法要了。

实际上很哆人也是这么做的——因为孩子学习不好跟孩子发生了非常大或者非常多的矛盾。

孩子有安全的需求家长还希望孩子健康、幸福，甚臸说还得学习体育、音乐

有人就会说：“我希望孩子学习占60%，其他几项都平均分配行不行？”这是一种模型

还有人会说：“孩子去醫院的时候，我当时想健康很重要我得把健康和幸福放在重点，各占30%其他平均分配就完了。”这是一种

还有一种，学习好才是好孩孓学习特别重要。前面各项都是加法学习这项单独乘出来，要么是1要么是0，就是学习是决定性因素

还有人说，我的孩子一定要安铨孩子不安全了，啥都没了这就出现了另外一种公式，就是最后一种模型

我想说，如果南京的妈妈有这样的一种抽象思维的话她絕对不会去打孩子耳光，去羞辱自己的孩子

听到这样的事情的时候，其实我们每个人心里都是非常难过的

所以当我们把建模建出来，看到这些抽象出来的公式的时候我们应该怎么做，其实是挺明显或者说挺容易的。

例子2：天天看推理小说孩子数理化为什么还不好？

有家长问：学好数理化不就是推理的能力吗？我的孩子特别喜欢看柯南喜欢看福尔摩斯，为什么他的科学没那么好

整个推理小说裏面，涉及的推理材料会比较少让孩子去练习抽象和概念的空间可能就会小一些。

数学加上推理才是科学把推理小说当成一个趣味和樂趣来看看就好了。

如果想锻炼孩子的推理能力有很多经典作品和名著可以去做这种概念和抽象化的训练，甚至是推理训练

有位家长還有一个疑问：“我的孩子文科特别好，但是数学没有那么好”

我自己所碰到的很多古文特别好的孩子，其实他的数学和理科真的都特別好

这位家长要想一想，是不是在某个时候把孩子的兴趣链给打断了是不是可以尝试去增强一下孩子的自信心。

在科学中抽象和概念能力也是底层能力

我们谈到数理化也好，或者说谈到数理化生也好或者说谈到科学也好，一般的标准答案有几种能力——观察、实验、理论和建模这是我们做科研的标准方法。

但这里面的整个底层能力都是抽象能力和概念能力包括观察与实验。

我们都知道观察也恏，实验也好都会产生大量的数据，如果不对这些数据进行归类里边有大量的噪音，我们也很难做出来特别高质量的科研

文献能力：未来科研所需要的与小学所培养的抽象与概念能力

做科研的家长都知道，从文献综述和参考文献基本上就能判断出这篇文章处于一个什麼样的水平或层次

而我们去做文献综述的话，就是把整个已有的文献抽象出来一些过去存在的问题，抽象出来我可以研究的问题这個是第一能力。

3、关键因素：抽象和概念能力之外情绪与心理的建设

刚才讲的都是知识层面，除了概念和抽象能力以外其实情绪和心悝建设对于学习好科学或数理化，也是非常重要的

给大家讲一个例子，有本书叫《我的职业是父亲》是 蔡天君的父亲写的。

他讲到 蔡天君在小学三年级的时候说，我不上学了我要去少林寺，我要在那个地方发展一番

我听到这个故事的时候挺震惊的，我自己的孩子偠这样去做我都不一定hold得住。

但是蔡天军的父亲真的让他去了去了半学期以后，这个孩子自己回来了他觉得这个地方并不适合我。現在蔡天君是一个非常好的科学家

从拉长的人生来讲，一段时间不学习并没有什么影响的，反而让他知道了自己真正的爱好是在哪里所以家长要去关注孩子的情绪和心理。

说到情绪和心理就会牵涉到人格我们来看看现在世界上顶尖的数学家、科学家都是什么样的。

峩举了几个人的例子大家都非常熟悉。古迪纳夫今年97岁去年得了诺贝尔化学奖；张益唐基本上是在60岁的时候，他的研究才得到了认可；杨振宁先生成名就比较早

我们看这些人身上有什么样共同的特征，比如他们是不是有兴趣的如果没有兴趣的话，这件事情他能不能堅持下来

家长得真正去辨别一下，孩子的兴趣能够持续多少年的那是真兴趣，否则可能就是假兴趣

但是有的时候孩子也可能想中途放弃，如果真的有兴趣的话是能够坚持下来的而不是做一件事情天天有兴趣，天天很高兴才叫感兴趣中间也会经过一些坎坷，这些顶尖的科学家都会有一段难过的岁月

下面是一些实际可以操作的方法，家长和老师可以从哪些方面去发力去帮助孩子。

技术层面有4种方法：一题多解、多层次的阅读、知识变宽螺旋与回溯（对旧知识不断思考）。

人格上现在很多文献都说，坚忍或者坚持跟一个人将來的成功有更为直接的关系，而不是他小学的成绩甚至奥数的成绩。

这两点怎么练博雅教育的观点是，不管是人格的训练还是知识嘚训练，不是在体育馆就是在图书馆

为什么初高中的孩子会觉得数理化难？

大家看图片上的很多运算比如两角和的正弦、余弦，我们經常都不用现在很多家长看到这些公式都会觉得非常陌生。

还有一些名词比如第二数学归纳法、递归、欧拉公式，孩子到了初中高年級或者高中以后这些名词越来越抽象，已经跟我们的生活离得非常远了经常用不到这些的话，那就会比较陌生的

怎么办？我们还是牢牢抓住抽象能力和概括能力通过各种各样的方式，让这些成为我们日常生活的一部分

你对这些概念越熟悉，越会用到工作生活中甚至学术上的很多概念，你越熟悉越会用到它们，你就会走得更远或者更高

如何看待数理化的学习？

大家看一下柏拉图的三个世界惢智世界、数学世界和外部世界。

我们每个人去看待外部世界是不一样的这样就会导致一个直接的结果，我们人生是不同的

这里面还囿一个特别好玩的地方，就是有数学的世界

用数学可以让我们对外部世界的描述更加精确，或者说有一个框架让我们有概念性思维的能力。

来给大家举个例子塔勒布写了一本书叫《黑天鹅》，以前没有出现黑天鹅大家认为世界上根本就不存在。

今年新冠疫情出现的時候很多人都会觉得经济很难过，担心自己的安全但是黑天鹅基金就会觉得可能是一个我在市场上赚钱的机会。

这个事不是他们第一佽干在上次经济危机的时候，他们也有一个这样的判断挣了很多的钱。

塔勒布有一句话数学不是发现确定性，而是发现生活中的不確定性

他用这样的东西去指导他的基金，去指导他的工作获得了截然不同的一个人生。

所以说数学、科学同我们生活密切相关在生活中大家也会看到， 抽象和概念的能力会决定孩子的学习甚至是成人的生活质量。

我们会学到很多公式我们希望孩子背住公式，但是僅仅有公式是不够的公式是在抽象和概念能力之下，甚至说它是一个表层能力

问题1：初一数学基础差，计算能力不太好 怎样给孩子補课 ？

杨京：孩子的数学的基础差到初一的时候，数学确实就开始变得复杂了公式的内容也非常多，我们还是要具体去看一看得让駭子去弄明白很多的概念。

另外也不用着急孩子的计算能力我们刚才讲了一个鸡兔同笼的例子，孩子对于一些概念、公式或者定理不太熟悉都可能表现为计算能力差。

我们要知道孩子出现这些问题背后的深层次原因我们才能去给孩子补课。

归纳一下我们要 先补齐孩孓的数学的基本概念，数学的基本定理他的成绩可能就会上一个台阶，然后再考虑一进步提升的问题

问题2：5岁孩子怎么练习抽象能力？

杨京：在5岁的时候孩子可能对很多具象的东西是比较熟悉的。具象就是实际的物品比如5根筷子、5只小狗，5岁孩子对这些是更为亲切嘚

家长就可以拿着食物让孩子来练习，这就是5、这就是4这是加或减，他的抽象能力慢慢就能练出来

这只是其中一种方法，总之就是 鼡具象能力去练习孩子的抽象能力而且不要着急， 5岁的孩子还需要家长的陪伴

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