为何要使用原码, 反码和补码？这次彻底明白了
为何要使用原码, 反码和补码？这次彻底明白了
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本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!
一. 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
一个数在计算机中的二进制表示形式,& 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是。如果是 -3 ，就是
那么，这里的
就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 ，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式&#（转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：的真值 = +000 0001 = +1，的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原&=
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = []原&= []反
[-1] = []原&= []反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = []原&= []反&= []补
[-1] = []原&= []反&= []补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使用原码, 反码和补码
在开始深入学习前, 我的学习建议是先&死记硬背&上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = []原&= []反&= []补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = []原&= []反&= []补
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别&符号位&显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = []原&+ []原&= []原&= -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = []原&+ []原= []反&+ []反&= []反&=
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在&0&这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[]原和[]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = []原&+ []原&= []补&+ []补&= []补=[0000
这样0用[]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[]表示-128:
(-1) + (-127) = []原&+ []原&= []补&+ []补&= []补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, []补&就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[]补算出来的原码是[]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
四 原码, 反码, 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28关于模 12 同余.
正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
上面是截图, &取下界&符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用&L&和&J&替换上图的&取下界&符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意, 这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的.
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明, 请看:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.
2-1=2+(-1) = []原&+ []原= []反&+ []反
先到这一步, -1的反码表示是. 如果这里将[]认为是原码, 则[]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1) = []原&+ []原&= []补&+ []补
如果把[]当成原码, 去除符号位, 则:
[]原&= 127
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]
本人一直不善于数学,每次都害怕计算进制转换和 反码补码等今天看到后瞬间明白，不要让一个问题绊倒你太久，不然每次遇到了都是个坑，曾经因为这是去一个好工作的机会呢！ 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!
作者：旅大市
出处：/zhangziqiu/archive//ComputerCode.html
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即使是一小步也想与你分享补码，原码，反码比如
-7是1111，，那我不会理解成14嘛？？好奇怪啊。。还有。补码，反码和原码不是会搞混？？那我怎么知道“如果它是一个有符号四位编码，首位表示符号位”我把它当做是数位好啦。那不就是数字了吗？我怎么知道怎样是个四位编码？？
正数的反码，补码，原码都是其本身，只不过在前面加上符号位（0）。正数的符号用0表示而对于负数的符号用1表示……对于负数反码就是按位取反（-10101）反就是（101010），而原码就是在最高位也就是符号位加1就可以了。补码就是求出过反码之后在最低位加1，就拿上面的例子来说，（-10101）反码就是（101010）补码就是（101011）。如果机器位不一样得出的结果也是不一样的…………
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扫描下载二维码补码与反码有什么用处？unsigned short int x=-1; x 的实际值是 65535。因为，-1的二进制（补码）表示为11 1111为什么不等于-1的原码00 0001的数？
在现在的计算机中，用补码表示有符号数，其计算方法，和无符号数的计算方法相同，所以可以共用一个运算器。因此，在计算机里面，通用的是补码。原码和反码，都是用于求补码的中间过程，一般都是写在纸面上，并不存入计算机。
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计算简单。
扫描下载二维码反码怎样加一负数求补码的过程是先求反码再加一,请问反码到补码是怎样加一的?
直接加在最后一位上如-1（以二字节为例）1:00 0001逐一取反：11 1110末位加1 ：11 1111
只是在反码的最后一位加一就可以了吗
对，如果加1后为2就进一位如：2:
00 0010逐一取反：11 1101末位加1 ： 11 1110
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豌豆卡密TP12H
X=-000那么：原码：1000反码：符号位不变,其余按位取反.1111补码：反码+1 00由于存在进位,超出了有效范围,数据发生溢出,最高位1会被舍掉,于是补码即为0000.
还有x=+0.1011,y=+0.1100,x+y等于多少?谢谢了
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但是0.0都是正数阿,两数相加怎么变成负数了
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带符号二进制数
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书上叫定点小数,比如1.011是-0.11,小数点前面的1就是符号位
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