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UPUPW绿色服务器平台 404状态页面（2004 上海）已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，B在第一象限，．（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线2a2-y2=1（a＞0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．
答案：解：（1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由2+(y+2)2=18及x＞0，y＞0得x=4，y=1，点B的坐标为（4，1）．（2）由2a2-y2=1得2-1)x2+6x-10=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则1+x2=-6a21-a2=4，得a=2．（3）设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），2+(x-3)2，记2+(x-3)2=√2(x-t+32)2+(t-3)22（1≤t≤4），当时，即-1≤t≤5时，min=f(t+32)=|t-3|√2，当，即t＞5时，f（x）在[1，4]上单调递减，min=f(4)=√(t-4)2+1；当，即t＜-1时，f（x）在[1，4]上单调递增，min=f(1)=√(t-1)2+4．综上所述，2+4，t＜-1|t-3|√2，-1≤t≤5√(t-4)2+1，t＞5
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，中点坐标公式及两点间的距离公式，同时考查了建立函数模型求最值的能力．
分析：（1）先设直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由2+(y+2)2=18及B在第一象限求解．（2）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：2-1)x2+6x-10=0，再由韦达定理求解．（3）先设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），根据两点间的距离公式建立二次函数模型，2+(x-3)2，记2+(x-3)2=√2(x-t+32)2+(t-3)22（1≤t≤4），再根据对称轴和区间的相对位置，分类讨论求解．
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