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如图，△ABC的面积是10，点D、E、F（与A、B、C不同的点）分别位于AB、BC、CA各边上，而且AD=2，DB=3，如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则这个相等的面积值是（&&&&）。
题型：填空题难度：中档来源：专项题
解:连接DE， ∵△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等， ∴S△ADE=S△FDE，又△ADE与△FDE均是以DE为底， ∴DE∥AC ∴
， ∴S△ABE= S△ABC=6．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC的面积是10，点D、E、F（与A、B、C不同的点）分别位于AB..”主要考查你对&&相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的性质
相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图，△ABC的面积是10，点D、E、F（与A、B、C不同的点）分别位于AB..”考查相似的试题有：
198233215275182387195184186820391348解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3，所以A、B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）．当x=0时，y=-3，∴C点的坐标为（0，-3）．（2）由题意可知，抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，∴h=t-3．①选取△ADE．△ADE与△ABE共边AE，当它们的面积相等时，点D和点B到AE的距离相等，此时直线AE∥BC，∴直线AE的函数关系式为y=x+1，∴点E的坐标为（3，4）．因为点E在抛物线上，∴4=（3-t）2+h，∴4=（3-t）2+（t-3），…解之得，t1=，t2=．
②选取△ADB．△ADB与△ABE共边AB，当它们的面积相等时，点D和点E到x轴的距离相等，∵点D到x轴的距离为|t-3|，点E到x轴的距离为|（3-t）2+（t-3）|，∴|t-3|=|（3-t）2+（t-3）|．
t-3=（3-t）2+（t-3），或3-t=（3-t）2+（t-3），解之得t=3或t=1，其中t=3时，点D、B重合，舍去，∴t=1．
（3）如图3：以OC为腰时，点Q与点A重合，故CP∥OA，∵点C的坐标为（0，-3），∴点P的纵坐标为-3，∵点P在y=x上，∴此时点P的坐标为（-3，-3）；如图4：以OC为腰时，过点C作y=x的平行线，则可求得与抛物线交点为B，此时可求出点P的坐标为（1.5，1.5）；如图以OC为底时，①以OC为下底时，点Q与点A重合，∵点A的坐标为（1，0），∴点P的坐标为（-1，-1）；②以OC为上底时，如图4，CQ∥x轴，∵点C的坐标为（0，-3），∴点Q的坐标为：（2，-3），∵PQ∥OC，∴点P的坐标为（2，2）．分析：（1）令y=x2-2x-3=0，求出方程的两根，A、B两点的坐标即可求出，令x=0，求出y，C点的坐标可求出；（2）根据抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，求出h与t之间的关系式，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值即可；（3）设P点坐标为（a，a），根据点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，分别讨论直角顶点的情况，求出a的值即可．点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是掌握抛物线图象得性质和特点，特别是第三问要进行分类讨论，此题难度较大．
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科目：初中数学
如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：（1）此抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．（3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
科目：初中数学
如图1，已知抛物线y=-x2+b&x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
科目：初中数学
（;南沙区一模）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的？
科目：初中数学
如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．（1）求抛物线解析式；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状．如图,四边形ABCD中,ABCD相交于点E,【一】若三角形ADE,三角形CDE,三角形ABE的面积分别为2,3,4,求三角形CBE的面积【二】若三角形ADE,三角形CDE,三角形CBE,三角形ABE的面积分别记为a,b,m,n,试说明am=bn
△AED和△CED以AE和CE为边时,高相同,所以由面积知道：AE：CE=a：b；同理,△AEB和△CEB以AE和CE为边时,高相同,所以由面积知道：AE：CE=n：m；所以有a：b=n：m,所以,am=bn
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扫描下载二维码分析：（1）作CM⊥y轴于M，则CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，证△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．（2）作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，得出∠AMC=∠AMN=90°，∠CAM=∠NAM，证△AMC≌△AMN，推出CM=MN=3，CN=6，证△CBN≌△ABD，求出AD=CN=6，即可得出答案；（3）作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，推出△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，证△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根据三角形面积公式得出S△BEN=S△BEM=12S△BEN=12S△ABO，即可得出答案．解答：解：（1）如图1，作CM⊥y轴于M，则CM=4，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBM=∠BAO，在△BCM和△ABO中∠BMC=∠AOB∠CBM=∠BAOBC=AB∴△BCM≌△ABO（AAS），∴OB=CM=4，∴B（0，-4）．（2）如图2，作CM⊥x轴于M，交AB的延长线于N，则∠AMC=∠AMN=90°，∵点C的纵坐标为3，∴CM=3，∵AD平分∠CAB，∴∠CAM=∠NAM，∴在△CAM和△NAM中∠CAM=∠NAMAM=AM∠AMC=∠AMN∴△AMC≌△AMN（ASA），∴CM=MN=3，∴CN=6，∵CM⊥AD，∠CBA=90°，∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，∴∠NCB=∠BAD，在△CBN和△ABD中∠NCB=∠BADBC=AB∠CBN=∠ABD∴△CBN≌△ABD（ASA），∴AD=CN=2CM=6，∵A（5，0），∴D（-1，0）．（3）如图3，作EN⊥y轴于N，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO，在△ABO和△BEN中∠AOB=∠BNE∠BAO=∠NBEAB=BE∴△ABO≌△BEN（AAS），∴△ABO的面积=△BEN的面积，OB=NE=BF，∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，∴在△BFM和△NEM中∠FMB=∠EMN∠FBM=∠ENMBF=NE∴△BFM≌△NEM（AAS），∴BM=NM，∵△BME边BM上的高和△NME的边MN上的高相等，∴S△MEN=S△BEM=12S△BEN=12S△ABO，即S△BEM：S△ABO=1：2．点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．
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科目：初中数学
已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合．（1）在以下五个结论中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C为顶点的三角形全等于△PQB；④以A、P、C为顶点的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C为顶点的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是．（只需将结论的代号填入题中的模线上）．（2）设AC=BC=1，当CQ的长取不同的值时，△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有的情况；若不可能，请说明理由．
科目：初中数学
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科目：初中数学
如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，试求△CDE的面积．
科目：初中数学
已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2-9x+20=0的一个根，则该三角形为等腰或直角三角形．
科目：初中数学
如图，已知△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线交AC于D，连接BE，若∠A=40°，则∠EBC=（　　）A．25°B．30°C．20°D．40°【答案】分析：（1）令y=x2-2x-3=0，求出方程的两根，A、B两点的坐标即可求出，令x=0，求出y，C点的坐标可求出；（2）根据抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，求出h与t之间的关系式，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值即可；（3）设P点坐标为（a，a），根据点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，分别讨论直角顶点的情况，求出a的值即可．解答：解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3，所以A、B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）．当x=0时，y=-3，∴C点的坐标为（0，-3）．（2）由题意可知，抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，∴h=t-3．①选取△ADE．△ADE与△ABE共边AE，当它们的面积相等时，点D和点B到AE的距离相等，此时直线AE∥BC，∴直线AE的函数关系式为y=x+1，∴点E的坐标为（3，4）．因为点E在抛物线上，∴4=（3-t）2+h，∴4=（3-t）2+（t-3），…（6分）解之得，t1=，t2=．&&&&&&&&&&&&&&②选取△ADB．△ADB与△ABE共边AB，当它们的面积相等时，点D和点E到x轴的距离相等，∵点D到x轴的距离为|t-3|，点E到x轴的距离为|（3-t）2+（t-3）|，∴|t-3|=|（3-t）2+（t-3）|．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&t-3=（3-t）2+（t-3），或3-t=（3-t）2+（t-3），解之得t=3或t=1，其中t=3时，点D、B重合，舍去，∴t=1．&&&&（3）如图3：以OC为腰时，点Q与点A重合，故CP∥OA，∵点C的坐标为（0，-3），∴点P的纵坐标为-3，∵点P在y=x上，∴此时点P的坐标为（-3，-3）；如图4：以OC为腰时，过点C作y=x的平行线，则可求得与抛物线交点为B，此时可求出点P的坐标为（1.5，1.5）；如图以OC为底时，①以OC为下底时，点Q与点A重合，∵点A的坐标为（1，0），∴点P的坐标为（-1，-1）；②以OC为上底时，如图4，CQ∥x轴，∵点C的坐标为（0，-3），∴点Q的坐标为：（2，-3），∵PQ∥OC，∴点P的坐标为（2，2）．点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是掌握抛物线图象得性质和特点，特别是第三问要进行分类讨论，此题难度较大．
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如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状．