一个关于一元函数微积分分的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-21 02:49 标签： 微积分一流化进程
有点长，呵呵，对数函数用积分定义是lnx=∫[1→x]1/tdt，积分符号我只能这么打了，根据微积分基本定理lnx的导数是1/x,根据lnx的导数是1/x推出第一个对数运算律lnxy=lnx+lny,这个推导不打了，只需要求个导，其中只用到了复合函数求导法则，但第二个对数运算律
有点长，呵呵，对数函数用积分定义是lnx=∫[1→x]1/tdt，积分符号我只能这么打了，根据微积分基本定理lnx的导数是1/x,根据lnx的导数是1/x推出第一个对数运算律lnxy=lnx+lny,这个推导不打了，只需要求个导，其中只用到了复合函数求导法则，但第二个对数运算律lnx^r=rlnx,我就不会了，书上没给答案，只给了提示，说先证明两边有相同的导数，等式右边会，但左边求完导是1/x乘x^r的导数。x^r的导数公式推导正用到了lnx的导数是1/x和第二个对数运算律lnx^r=rlnx，也就是说没有第二个对数运算律lnx^r=rlnx就没有x^r的导数公式，所以有个先后，在证明时不能引用还要近一步证明的理论。那怎么办啊？难道x^r的导数公式有其他证明法，我只知道幂函数导数公式证明需要四种情况，1指数是正整数，这个我会，用二项式定理，2指数是负整数，这个也简单,但指数是分数和指数是无理数可怎么证，我在书上查不到，很重要的一点是，第二个对数运算律lnx^r=rlnx，不要高中的证明，高中关于对数函数的定义不是精确的，对数函数的积分定义lnx=∫[1→x]1/tdt才是精确的，要在这个环境下证明，所以只有高中知识的人就不要答了，呵呵。
你的问题不是伪问题，思考也蛮深，但是有点钻牛角尖了。
高中里只要有了指数函数的定义和反函数的概念，那么对数函数的定义就没有不精确的讲法了。
用“变上限定积分函数”来定义对数函数，是我国30年前的时髦（当时本人曾经做过这个尝试）。但是60年前海外这样做是建立一套新的系统，完全不可同日而语。海外教材这样定义，至少在60年前没有人说过我的更精确，只是说在很多方面可以体现出更大的优越性。
定义了边长为1的正方形面积，可以证明a、b是正整数时，边长为a、b的长方形面积为S=ab，接下去有理数也可以证明了，小学里不接触......
你的问题不是伪问题，思考也蛮深，但是有点钻牛角尖了。
高中里只要有了指数函数的定义和反函数的概念，那么对数函数的定义就没有不精确的讲法了。
用“变上限定积分函数”来定义对数函数，是我国30年前的时髦（当时本人曾经做过这个尝试）。但是60年前海外这样做是建立一套新的系统，完全不可同日而语。海外教材这样定义，至少在60年前没有人说过我的更精确，只是说在很多方面可以体现出更大的优越性。
定义了边长为1的正方形面积，可以证明a、b是正整数时，边长为a、b的长方形面积为S=ab，接下去有理数也可以证明了，小学里不接触无理数（除了π），这点够了。中学里接触了无理数，但是不读相关信息专业的人，直到大学毕业，都没有证明过【边长为a、b的长方形面积为S=ab】在实数内也成立，因为需要实数的连续性和极限。
这里其实也是一样，有了ln(xy)=lnx+lny，利用数学归纳法可以证明ln(x^n)=nlnx，再来个类似于逆运算ln[x^(1/n)]=(1/n)lnx，于是对于有理数r，也就有 ln(x^r)=r lnx。
接下来无理数，就复杂得多了，需要实数的连续性和极限。
我想你应该明白我的意思了。
证：∫dx/[x(lnx+1)]
=∫d(lnx)/(lnx+1)
=∫d(lnx+1)/(lnx+1)
=ln|lnx+1|+C
最后结果应有“||”
1)积分是为鼓励用户参加而设计的一套奖励系统。回答问题并被提问者采纳才是积分增加的最好途径。
　2)用户凭积分不仅可以提高自己的级别，还有机会获得“爱问”定期颁...
1、利用等价无穷小sinx～x（x→0）
lim(x→0) sinax/sinbx＝lim(x→0) ax/bx ＝ a/b
2、利用洛必达法则以及等价无穷小1...
--------------------------------------------------------------------------------...
答: 31+3结肠内径1.2cm严重吗
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
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一道关于微积分的题目积分sinAcosAdA等于什么打错了，是积分sinAsinAcosAdA等于什么
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方法一∫sinAcosAdA = ∫sinA dsinA= ½ sin²A + C方法二∫sinAcosAdA = -∫cosA dcosA= -½ cos²A + C方法三∫sinAcosAdA = ∫½ sin2A dA= -½ cos2A + C说明：这三个结果都是对的,因为有积分常数存在,三个结果可以互化.
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微积分的基础问题——集合、实数、极限.ppt 66页
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微积分的基础问题——集合、实数、极限
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教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。 教学时数：6学时。
?定义　 如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个变化范围X内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作
，x叫做自变量，x的取值范围X叫做函数的定义域，和x的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合Y叫做函数的值域。
函数的表示法：解析式、图象法、表格法
有些函数在定义域的不同区段上由不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数 定义域为R
?例2　在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要经济指标。
?联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于20为绝对富裕，20以上小于40属比较富裕，40以上小于50算小康水平，50以上小于60刚够温饱，60以上则为贫困，试以图像法表示国民富裕程度。 解
以x表恩格尔系数，对富裕程度分别适当赋值，以y表之，则国民富裕程度如图2.2所示。 1.2逆向思维一例——反函数 定义　设函数y=f(x) ,
如果对于Y内的任一y, X内都有唯一确定的x与之对应,使f(x)=y ,则在Y 上确定了一个函数,这个函数称为函数 y=f(x) 的反函数,记作
而原来的函数 y=f(x) 称为直接函数. 例3
的反函数，并在同一坐标系内作出这两个函数的图像。 解 因为函数
上单调递增，所以它存在的函数。 由
解得 于是函数
的反函数为
，在同一坐标系内用描点法作出这两个函数的图像。
1.3基本初等函数 1. 常数函数
（C为常数）定义域为(
。图像为过点(0,C),且平行于x 轴的直线。
(a为实数)该函数的定义域视a的不同而不同,但无论a为何值,它在区间(0,
)内总有定义。 a＞0
a＜0的图象如图2.3和图2.4所示
3 指数函数
),值域为(0,
)。a&1时,函数单调增加;a＜1函数单调减少。图像过点(0,1)。
4 对数函数,
) 定义域为(
)。a&1时单调增加,a&1时单调减少,图像过点(1,0)
三角函数 正弦函数
的定义域为(
),值域为[-1,1]。
上单调增加,在
上单调减少
为周期的周期函数。
的定义域值域和周期与正弦函数相同,在
上单调增加,在
上单调减少
为周期的周期函数,在有定义的区间上单调增加。 余切函数
, 定义域为
为周期的周期函数,在有定义的区间上单调减少。
6.反三角函数
(1)反正弦函数
)内不是单调函数。在该区间内不存在反函数,但在区间
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微积分理论中一个遗留的古典问题
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