Yamabe问题与非线性椭圆型方程--《四川师范大学学报(自然科学版)》1988年S1期
Yamabe问题与非线性椭圆型方程
【摘要】：正 Yamabe 问题是几何中的一个著名问题,是 Yamabe 于1960年提出的,问题是这样的:设(M_n,g)是维数为 n≥3的 C~∞(?)Riemann 流形,R 是它的数曲率,问题是:是否存在共形于 g 的度量 g',使这个度量的新曲率 R' 是常数.假如我们考虑共形变换的形式为 g'=u~2/~(n-2)g,此处u∈C~∞,u0,则数曲率 R'满足方程;
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【关键词】：
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400-819-9993一些源自共形几何的流形上的非线性问题--《中国科学技术大学》2012年博士论文
一些源自共形几何的流形上的非线性问题
【摘要】：本文主要研究负容许曲率带边流形上的全非线性Yamabe型问题。这是几何分析中一个非常重要的问题,并且已被广泛地研究。
这个问题实质上是一个带Neumann边界条件的椭圆问题。首先我们利用极大值原理和扰动方法得到了解的C0边界。接着,我们创造性地应用了管状邻域法坐标得出了C1和C2边界估计。当我们得到C2估计后,该问题便是一致椭圆的。从而,利用Lieberman和Trudinger的理论,以及凹性条件,我们可以得到C2,α估计。进一步,利用标准的Schauder估计,我们可以得到C4,α估计。最后,我们应用连续性方法,得到了问题的存在性,并且用极大值原理,得到了问题的唯一性。
【关键词】：
【学位授予单位】：中国科学技术大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2012【分类号】：O186【目录】：
摘要5-6ABSTRACT6-7目录7-9第1章 引言9-17 1.1 Yamabe问题9-10 1.2 带边Yamabe问题10-11 1.3 全非线性Yamabe问题11-14
1.3.1 一类对称函数和容许锥体区域11-13
1.3.2 正容许类型的全非线性Yamabe问题13-14
1.3.3 负容许类型的全非线性Yamabe问题14 1.4 带边流形上的全非线性Yamabe问题14-15 1.5 带边负容许曲率流形上全非线性问题的完全解决15-16 1.6 论文的组织结构16-17第2章 基础知识17-29 2.1 黎曼几何的基础知识17-21
2.1.1 度量与联络17-18
2.1.2 曲率18-21 2.2 共形几何的基础知识21-23 2.3 带边流形,管状邻域法坐标23-29
2.3.1 第二基本形式23-24
2.3.2 管状邻域法坐标24-29第3章 先验估计29-69 3.1 C~0估计29-31 3.2 梯度估计31-46 3.3 Hessian估计46-69第4章 定理1.6的证明69-73 4.1 存在性69 4.2 唯一性69-73第5章 定理1.7的证明73-77参考文献77-81致谢81-83在读期间发表的学术论文与取得的研究成果83
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Pure Mathematics
（070101）
● 培养方案
（一） 培养目标和要求
1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：
(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业主要学习分析和拓扑（泛函分析、Banach空间几何理论、线性拓扑空间、拓扑度理论），代数（基础代数、C*-代数、交换代数），方程（常微分方程、泛函微分方程、偏微分方程）和图论、组合论等方面的数学基础知识，为高等院校、中学及相关领域培养合格的专门人才。
（二）研究方向
1、 泛函分析 Functional Analysis
导师：曾六川教授，徐本龙教授，许庆祥教授，孙彦副教授
2、 组合数学 Combinatorial Mathematics
导师：王军教授、唐明元副教授
3、 代数学Algebra
导师：周才军教授、王宇教授
4、 常微分方程 Ordinary Differential Equation
导师：韩茂安教授
研究方向介绍：
泛函分析方向：主要研究无限维空间中的算子族不动点及其渐近行为，无限维变分不等式与向量最优化；Toeplitz算子代数，算子广义逆；半线性和拟线性椭圆方程的解，传染病模型，奇异非线性微分方程解的存在性，解的确切个数；脉冲微分方程整体解的存在性，极值解的存在性，及单调迭代解，微分-积分方程解的存在性等。主持国家自然科学基金项目3项，参加国家自然科学基金项目2项；主持教育部高等学校优秀青年教师教学与科研奖励基金项目1项，以及博士点专项基金项目1项；主持上海市科委“曙光”基金项目和自然科学基金项目各1项；主持上海市教委项目多项。最近5年，在各类SCI杂志上发表文章40多篇。
代数学方向：主要研究交换代数和超代数上映射理论的研究。在交换代数方面，主要用同调方法研究交换代数的一些重要问题，所得的研究成果发表在J. Algebra, Trans. AMS 等重要杂志上，在研的科研项目有国家自然科学基金和上海市教委创新项目等。在超代数上映射理论的研究方面，主要用代数学方法研究结合环上的导子、自同构及其相关映射。近几年，开展了环上函数恒等式这一新兴领域的研究。主要结果已发表在Communication in Algebra，Algebra Colloquium，Quarterly Journal of Mathematics，Math of Japanica，India Pure and Appl. Math，J of Taiwanese Math.，Acta Mathematica Sinica等杂志上。
组合学方向：主要研究有限集及有限偏序集上的组合学、字上的组合等，已在各类SCI/SCI杂志上发表文章60多篇，其中主要结果发表在Ann. Combin.，J. Combin. Theory A, SIAM J. Disc. Math., Euro. J. Combin., Adv. Appl. Math.等本领域著名的国际杂志上。三次参加国家自然科学基金重点项目；作为负责人完成国家自然科学基金面上项目、两个基地项目等三项，省部级项目4项。近几年还研究组合数学在生物信息学中的应用，在J. Chem. Inf. Comp., J. Theor. Bio. Math. Bio.等杂志上发表论文20余篇，并被引用上百次。
微分方程方向：主要研究领域是微分方程定性理论、动力系统分支理论、常微分方程与时滞微分方程的周期解及奇摄动系统几何方法。在极限环的存在性及其个数、Hopf分支、Poincare分支、同宿异宿分支、亚调和解与不变环面的分支及高维系统周期解的局部与非局部分支等方面获得一系列有重要学术价值的研究成果，建立了系统完整、特色突出的一般理论与方法。主要研究论文发表在《J.Diff. Equs》、《Intern. J. Bifurcations and Chaos》、《Disc. Cont. Dynamical Systems》、《Sciences in China》等重要刊物上。作为负责人主持完成了5项国
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