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如图,在△ABC,∠ACB=90°,AC=AB,P为△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数
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∠BPC=135度证明：以点C为中心旋转,点B到点A的位置点A到点A'的位置,P到点P'的位置∠PCB=∠P'CB∠PCB+∠PCA=∠P'CB+∠PCA=90∠ACB=∠P'CP=90PC=P'C∠CP'P=∠CPP'=45度PC=2,P'C=2根据勾股定理PP'²=8P'A²=1,PA²=9P'A²+PP'²=PA²所以∠PP'A=90∠BPC=∠AP'C=90+45=135度
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如图,是三角形ABC内一点,角BAC=90度,AB=AC,PB=1,PC=3,求角APB的度数.PA=2
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老题了,楼主少写了个条件,其中PA=2,如图,将△BPA绕点A旋转,使得BA与CA重合,点P转至点D,连接PD,则易知△PAD为等腰直角三角形,故∠PDA=45°,PD=2√2,而DC=PB=1,则在△PDC中,满足PD²+DC²=PC²,于是△PDC为直角三角形,即∠PDC=90°,故∠APB=∠ADC=∠PDA+∠PDC=135°
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你的ABC三角形大小都是不固定的 P点的相对位置肯定也会变的 ..
扫描下载二维码1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90；2、在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上；AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC；3、在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的；解：；∵AD是中线，BC=6，AD=3；∴∠BAC=90°；∴BA2+AC2=BC2=36；∵AB+AC=8；∴AB2+2AB*AC+AC2=64；∴2AB*A
1、 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD2+CD2=2AD2
2、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA2+PB*PC的值为多少？
解：过点A作AN⊥BC于N。(不妨设P在NC上）
AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}
3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，则三角形ABC的面积是_____
∵AD是中线，BC=6，AD=3
∴∠BAC=90°
∴BA2+AC2=BC2=36
∴AB2+2AB*AC+AC2=64
∴2AB*AC=64-36=28
1/2AB*AC=7
∴△ABC 的面积=7
4、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___ 5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF
等于多少？
解：假设AC、BD的交点是O，连接PO
S△APO＝(1/2)AO*PE
S△DPO＝(1/2)DO*PF
所以 PE+PF＝2S△APO/AO + 2S△DPO/DO
根据勾股定理，AO＝DO＝5/2
所以 PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/5
6、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？ 解：两点之间直线最短
在AD上做AF=AP=3
这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是
根号下（3^2+4^2）=5 7、 如图：已知DE=m,BC=n, ∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CE2
解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90° 所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2
所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2
又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2
所以有BD2+CE2=m2+n2
8、 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。 解：将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'
所以△CPB全等于△CP'A
所以CP=CP' BP=P'A
∠PCB=∠P'CA
所以∠PCB+
∠ACP=∠P'CA+∠ACP
因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°
因为CP=CP'=2
所以PP'等于2倍根号2
因为AP'=BP=1 AP=3
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于2倍根号2
所以角AP'P=90°
所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°
9、 如图，CD是△ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。
10、 （1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG&BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。
（2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．
探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．
解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM⊥MF。
延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。 因为AM=EM，∠AMD=∠E（……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF，DM⊥MF。
11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN
的值最小，求这最小值。 解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，显然EN垂直AB时值最小．
由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.
12、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这
一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是
k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探
索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=
顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
图1 B(E)CDABCDABCDABCDAB图2
（2）若k=2，则n=
时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 ．．P．
n时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含．．P．
k的代数式表示n）.
分析：这是一道面动滚动型问题，正△PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。
解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.
12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1
加上根号下Y平方加4的最小值？
解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)
T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4)
=x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)
所以(x+y)^2=16
即x^2+y^2=16-2xy
因为x,y都是正实数
所以 4x^2+y^2≥4xy（当且仅当2x=y时取等号）
所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4)
=21-2xy+2√(xy+2)^2
因为T&0,所以T≥5（当且仅当2x=y时取等号） 即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)
13、正△ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正
△RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将△RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 解：在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。
在BC上，CA上也一样。
一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米
在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值。
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、外语学习资料、各类资格考试、高等教育、中学教育、幼儿教育、小学教育、行业资料、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD06等内容。　
　° ,DC=DE ∴∠ADC=∠BDE ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=BC+CD 2 习题 5 如图,己知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 是 BC 上的任意一点,探究 BD?... 　如图,△ABC 中,AB=AC,点 D,E 在 BC 边上,当...外一点, 且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1)求证:四边...BC 在直线 BD 的两侧, 连接 AC, 可证得△ABC ... 　AE 分别交 BC、 BD 于点 E、F,CE=2,连接 CF...D. (1)求 m 的值和直线 AB 的函数关系式; (...济南)如图 1,在△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,... 　2 2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是 AC 上的一点,AE⊥BD 的延长...CD 之交 点 0 且平行于 AB 的直线分别交 AC、BC 于 F、G,求证 AF=CE.... 　(11 题图) 二、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 11.如图,在△ ABC,∠C=90° ,∠B=15° ,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足, 若BD=10cm,则AC等于( ... 　等腰三角形非正三角形 D.正三角形 ) 16.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BE=CD,CF=BD,那么∠EDF 等于( )B.90°- A.90°-∠A 1 ∠A 2 ... 　种. A.4 B.5 C.6 D.7 4.等腰△ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将...如图,BD 为△ABC 的的角平分线,且 BD=BC,E 为 BD 延长线上的一点,BE=... 　如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 上,且 ...D 在 AE 上,BD=CD,∠BDE=∠CDE.求证:AB=AC....点 P 是 y 轴上的任意一点,点 C 是一次函数 ... 　如图,已知 D、E 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 上的点,DE//BC,BE 与 CD 相交于点 F,如果 AE...AB 上,BD=AD=AC,AD 与 CE 相交 于点 F, AE...& 熟练运用旋转解决平面几何中的问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题
[导读]熟练运用旋转解决平面几何中的问题 平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果． 例 图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE． 求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE． 分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等...
熟练运用旋转解决平面几何中的问题
　　平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．
图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．
求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．
　　分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
1、90°角旋转
如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD-上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
　　解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．
分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．
　　解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．
　　则△ABP ≌ △CBQ且PB⊥QB．
　　于是PB=QB=2a，PQ==2a．
　　在△PQC中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．
　　∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°．
　　∵△PBQ是等腰直角三角形，
　　∴∠BPQ=∠BQP=45°．
　　故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．
　　(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，
　　∴三点A、P、Q在同一直线上．
　　在Rt△AQC中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋2a)2＋a2=(10＋4)a2．
　　故S正方形ABCD =AC2=(5＋2)a2．
例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:
　　(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN=，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)
2、60°角旋转．
如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。
证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。
如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形-边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=P′B2．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+
∠P'PB=60°+90°=150°。
如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．
　　分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．
　　证:连接AC．
　　∵AD=DC，∠ADC=60°，
　　∴△ADC是等边三角形．
　　故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．
　　于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．
　　∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．
　　∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．
　　故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．
练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。
　　3、旋转到特殊位置
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．
　　分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α ．
　　解:∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等)．
　　∴∠A=∠A1且CB=CB1．
　　∵∠ADC=∠A1DB， ∴∠A1BD=α ．
　　在△ABC中，∠ABC=90°－25°=65°．
　　∵∠BCB1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)．
　　∴∠CBB1=(180°－α)
　　∵点A1、B、B1在同一直线上，
　　∴α＋65＋(180－α)=180．
　　解之得α=50°．
例1中，若∠A=θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)
二、按计算要求进行区分
　　1、求角度
　　例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
　　分析：由题中已知条件中的
6、8、10这组勾股数联想到直角
三角形，于是设法将PA、PB、PC
集中到一个三角形中，可以将△APC
绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB，
从而可得∠APB=∠APF+∠BPF，然后设法求出∠APF、∠BPF的度数即可。
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP是正三角形，FP=PA=6，在△PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。
　　例2、如图所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A'B'C，则∠AB'C的度数是
分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB'是旋转角，它的度数
　　应该是30°，∠AB'C可以看成是∠ACB和∠BCB'的和，所以∠AB'C=120°＋30°=150°。
　　答：∠AB'C的度数是150°。
　　2、求线段间的关系或长度
　　例1（旅顺）操作：如图3，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。
　　分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD，于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。
　　解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
　　又∵∠BDC=120°，DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°。
∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM绕D点顺时针
旋转120°到△DCP位置，则BM=CP、DM=DP、∠MDP=120°，
又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN，∵DN=DN，
∴△MDN≌△PDN，∴MN=NP=NC+CP，∴BM+NC=MN。
　　答：∠AB'C的度数是150°。
　　例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是
分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，
　　根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。
　　答：DH的长是。
　　3、求面积
　　例1、如图4，△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。
　　分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH
和△BDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。
　　解：将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针旋转180°变成图5。
　　∴S阴=S半圆－S△AEF=π×12－×12=（π－1）。
　　例2、如图所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A'OB'，那么AB扫过的区域的面积是
　　分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA'的面积－扇形ODD'的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。
　　答：AB扫过的区域的面积是。
　　4、进行图形分割
　　例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补。
　　（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。
　　析解：本题设计新颖，巧妙把直
观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，
第（1）问可根据四边形内角和直接求解；
第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要
把四边形分成两部分，使得这两部分能够
拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由∠C=90°，又AB=AD，因此猜想过点A作AE⊥BC于E，又得一个直角。把△ABE绕点A逆时针旋转90°，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。
　　5、构造平行四边形
　　例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：
（用"能"或"不能"填空）。若填"能"，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填"不能"，请简要说明理由。
　　分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问
题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。
解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。
三、按旋转类型进行区分
1、正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。
　　　　图（1-1-a）
图（1-1-b）
如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
　　　　　　　则APB的度数是________.?图（1-1）
简解：在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。
　　　则ΔBA≌ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ
　　　∴APB=AP+PB=+=1500
2、正方形类型
　　在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。
　　　　图（2-1-a）
图（2-1-b）
如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
　　　图（2-1）
　　简解：作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）
同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。
易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1
同理，PF=3
∵EDA=PBA，FDC=PBC
又∵PBA+PBC=900
∴EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800
∴点E、D、F在一条直线上。
∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF中，EF=4，EP=，FP=3
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ
∴S正方形ABCD =SRtΔEPF+SRtΔEPA+SRtΔPFC=3++=8
.如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　图（3-1）
简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔAB≌RtΔADF（SAS）。
　　∴AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证ΔAE≌ΔFAE(SAS)
∴EA =FEA=600，∴FEC=600, ∵在RtΔABE中, AB=，BAE=300
∴BE=1, CE=-1, FE=2CE==2(-1), ∴ E=EF=2(-1)
所以,SΔAEF= S△AF'E=AB·E=((2(-1)=3-
3、等腰直角三角形类型
　　在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔCP为等腰直角三角形。
图（3-1-a）
图（3-1-b）
例4．如图（4-1），在ΔABC中，ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。?图（4-1）
简解：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。
则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=900
　　　∴BPC=CP+PB=450+=1350
例5. 如图（5-1），在ΔABC中，BAC =900，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把ΔABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为__________。
　　　　　　　　　　　　　
例6． 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）
　　　　　　图（6-1）
　　简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE≌ΔABC（SAS）
∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =D
∴ΔCAD≌ΔAD（SSS）
　　∴SABCDE=2 S△C'DA=2（11）=1
4、 三角形与圆混合类型
　　将ΔCAD绕A点按顺时针方向旋转600到ΔBA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，ΔAD为正三角形。?　　图（3-1-a）
图（3-1-b）
例7． 如图（7-1），正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为______________。?　　　　　　　图（7-1）
简解：延长PB至使得B=PC，连结A，则ΔAB≌ΔAPC（SAS）
　　　∴A=AP，AB=PAC， 又 ∵BAC=600
　　　∴ΔAP为正三角形
　　　　　∴S四边形ABPC = S△AP'P =
四、与旋转有关的探索型题目
　　1、条件探索型
　　条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).
例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′，A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.
⑴. △ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由.
⑵.求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)　　　　　　解： ⑴∵ACGF是正方形，A′B′经过点F，∴
又∵∠A′=60°,
△A′CF是等边三角形.又∵ ∠A′CF=60°
∴ ∠ACA′=90°一60°=30°,∴
△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.
(2)∵ ∠ACA′=30°
,∠BAC=60°,∴
∠A′DE=90°.
AC=2，可求得
CD=.∴A′D=2一.
在Rt△A′DE中 ,
DE=A′Dtan60°=(2一_)·=2一3．
∴ △A′DE的面积为：A′D·DE=(2一)·(2一3) = .
A′F= 2,∴
F是A′B′的中点．
∴ △A′CF的面积=△ABC的面积 , 而B′C=A'C·tan60°=2,
S△ABC=×2×2 =2， S△A'CF =
四边形DCFE的面积为：一()=一+6=6一
(若取近似值，则结果应约为1．7．)
2、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.
例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
⑴证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
解:⑴证明:当∠AOF=时, AB∥EF,又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE. ∴AF=EC.
⑶四边形BEDF可是是菱形.
理由:如图2,连接BF、DE.
由(2)知△AOF≌△COE.得OE=OF,∴EF与BD互相平分.
当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC=,∴OA=1=AB . 又AB⊥AC∴∠AOB=，∴∠AOF=.
∴AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.
3、存在性探索型
　　存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.
　　例1.（河北）如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
　　（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
　　（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．　　　　　　　　分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
　　解：（1）BM=FN．
　　证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
　　又∵∠BOM=∠FON
∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
　　（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
　　∴∠MBO=∠NFO=135°．
　　又∵∠MOB=∠NOF，
∴ △OBM≌△OFN ．
　　∴ BM=FN．
　　评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
　　例2. （黑龙江鸡西）已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．　　　　
　　　　图2-1
　　分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
　　解：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.
∴ OD+OE=0C．
图3结论：OE-OD=OC.
　　评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
　　1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
　　2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.
一、选择题
1、（2009年泸州）如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P'BA，则∠PBP'的度数是
（　　　　）
2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α的大小可以是 （
3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得 ，则点的坐标为（
　A．（3，1）
B．（3，2）
C．（2，3）
D．（1，3）
4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰梯形
B．平行四边形
C．正三角形
5、（2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（　 　）
6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（
A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形
7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点， 且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△≌△；③；④
其中正确的是（
A．②④；　　
B．①④；　　 C．②③；　　　　D．①③
8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（
9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在
　　(A)第一象限
(B)第二象限
(c)第三象限
(D)第四象限
10、（2009年崇左）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（
二、填空题
1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是
2、（2009年衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B，那么点B的坐标是 _________ ．
3、 （2009年枣庄市）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是
4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是．将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是
三、解答题
1．如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．　　2．正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°．
3、如图P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=
4、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
5、如图，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。
(0o＜α＜90o)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
　　(△ABC与△A1B1C1全等除外)；
　　(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；
　　(3)当α＝60o时，求BD的长．
6、（13分） 已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
7．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.
如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:"在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等."是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;
若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.
　　（1）将图1中△DEC绕点C顺时针旋转任意角度，
则 ∠ACB1+∠BCA1=____________
　　（2）、将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点。
　　①求出图中△ACP1的各个内角的度数；
　　②求证：；
　　（3）、将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。
　　①求出图中△CP1 P2的各个内角的度数；
　　②线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
　（4）、将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.
　　9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．
　　(1)当 EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值
　　(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α&30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；
(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；　　　　　　　　　　　　　　　　10、 （海口实验区）在△ABC中，∠ACB=90°，
　　AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
　（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
　　　求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；　　
　（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
求证：DE=AD-BE；
　（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，
　试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出
　这个等量关系，并加以证明.
11． 已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
　　（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
　　（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
12．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
13、ABC是等腰三角形，，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.
14、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.
15．已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
16．如图○14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。
　　(1)求点C的坐标；
(2)如图○15，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置，其中A'C交直线OA于点E，A'B'分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A'B'C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)
(3)在(2)的基础上，将△A'CB'绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。
17、（江苏杨州课改）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
　（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
　（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
　①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
　②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
　③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．　　
熟练运用旋转解决平...
品德与社会
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