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2018届高考文科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第4板块 拓视野 巧迁移
2018届高考文科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第4板块 拓视野 巧迁移
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第一讲　创新应用问题
一、实际应用问题
?1?应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化.?2?建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模?如借助不等式、导数等工具加以解决?.
[典例]　(1)一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x的值应为(　　)
A．6　　　　　　　　　 　B．3
[解析]　无盖方盒的底面边长为6－2x，高为x，其容积V(x)＝(6－2x)2x＝4x3－24x2＋36x(0＜x＜3)，则V′(x)＝12x2－48x＋36＝12(x－1)(x－3)，
当x(0,1)时，V′(x)＞0，函数V(x)单调递增；当x(1,3)时，V′(x)＜0，函数V(x)单调递减．
故当x＝1时，无盖方盒的容积最大．
(2)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
&B．2019年
&D．2021年
[解析]　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，n≥4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
[反思领悟]　解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
[创新预测]
为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育．为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：
当天处罚金额x(单位：元) 0 5 10 15 20
当天闯红灯人数y 80 50 40 20 10
(1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程；
(2)现按照处罚金额用分层抽样的方法，从这五天闯红灯的人中抽取40人进行交通安全教育，再从这40人中被处罚的金额为15元和20元的行人中，随机抽取2人进行重点教育，求所抽取的2人被处罚金额不同的概率．
参考公式：＝，＝－.
解：(1)由题意得＝(0＋5＋10＋15＋20)＝10，
＝(80＋50＋40＋20＋10)＝40，
iyi＝0×80＋5×50＋10×40＋15×20＋20×10＝1 150，
＝0＋25＋100＋225＋400＝750，
所以＝＝＝－3.4，
＝－＝40＋3.4×10＝74，
所以当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程为＝－3.4x＋74.
(2)这五天中闯红灯的行人共计200人，从中抽取40人，则抽样比为＝，故应从被处罚金额为15元的行人中抽取20×＝4(人)，记为A1，A2，A3，A4；应从被处罚金额为20元的行人中抽取10×＝2(人)，记作B1，B2.
从上述6人中随机抽取2人的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}，共15个．
记“所抽取的2人被处罚金额不同”为事件M，则M包含的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，共8个．
二、创新性问题
?1?以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.?2?以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.?3?以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
[典例]　设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　　　　　 　B.
[解析]　由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域，
令t＝4x－5，则t(－1,11]，a＝，当t(－1,0]时，a≤0；
当t(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．
综上，实数a的取值范围是.
[反思领悟]　高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
[创新预测]
1．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(nN*)垂直，则＝________.
解析：易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(nN*)垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－.
答案：－2．(2017·青岛一模)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．
给出下列函数：y＝x2；y＝ex＋1；y＝2x－sin x；f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．
解析：由不等式x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
得x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，
即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0.
所以函数f(x)为定义域R上的单调增函数．
y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不合题意；
因为y＝ex＋1，所以y′＝ex＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；
因为y＝2x－sin x，所以y′＝2－cos x＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；
显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意．
综上，为“H函数”．
3.如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：
若θ＝60°，P(2，－1)，则||＝；
若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)；
若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；
若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
其中所有正确结论的序号是________．
解析：对于，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知||＝，故正确；对于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，故正确；对于，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)，因为e1·e2≠0，所以·≠x1x2＋y1y2，故错误；对于，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为|OP|＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故正确．故填.
三、数学文化问题
高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如《九章算术》《数书九章》《算数书》等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值.
1．三角函数中的数学文化
[典例]　第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.
[思路分析]　本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．
[解析]　依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，
于是有5sin θ－5cos θ＝1，
即有sin θ－cos θ＝.
从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，
则sin θ＋cos θ＝，
因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，
故tan＝＝－7.
[答案]　－7
[相关链接]　1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．
[创新预测]
欧拉公式eix＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e·e＋(1＋i)2的虚部是(　　)
A．－1　　　　　　　　　 　B．1
解析：选D　依题意得，e·e＋(1＋i)2＝＋2i＝－1＋2i，其虚部是2.
2．数列中的数学文化
[典例]　(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
[思路分析]　此问题实质是等比数列问题，相当于已知S7，求a1.
[解析]　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.
[相关链接]　我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．
[创新预测]
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)
解析：选B　依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96里．
3．立体几何中的数学文化
[典例]　(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是(　　)
A．a，b　　 　B．a，c　　　C．c，b　　　D．b，d
[思路分析]　观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．
[解析]　当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.
[相关链接]　“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．
(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)
&D．8－2π
[思路分析]　根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．
[解析]　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π.
[相关链接]　祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．
[创新预测]
(2017·武汉模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为(　　)
解析：选B　该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3，1的长方体，组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·2×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.
4．算法中的数学文化
[典例]　(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为(　　)
[思路分析]　读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．
[解析]　由程序框图知，
初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1.
结束循环，输出当前v的值18.故选B.
[相关链接]　《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．
(2)(2017·安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝(　　)
[解析]　该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45.
[创新预测]
公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程
序框图，则输出n的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)
解析：n＝6，S＝×6×sin 60°＝≈2.598 1＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.
1．(2017·大连二模)定义运算：x?y＝例如：3?4＝3，(－2)?4＝4，则函数f(x)＝x2?(2x－x2)的最大值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 　B．1
解析：选D　由题意可得f(x)＝x2?(2x－x2)＝当0≤x≤2时，f(x)[0,4]；当x＞2或x＜0时，f(x)(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4.
2．朱载堉()，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则＝(　　)
解析：选A　设13个音的频率所成的等比数列{an}的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2，所以＝＝q4＝2＝.
3．(2017·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则(　　)
A．甲车间大于乙车间
&B．甲车间等于乙车间
C．甲车间小于乙车间
&D．不确定
解析：选A　设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x)6.
4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×(1＋x)3，
由知，(1＋x)6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝，(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2＞0，m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．
4.如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为(　　)
&B．288 m2
&D．368 &m2
解析：选B　设绿化区域小矩形的宽为x，长为y，
则3xy＝200，y＝，
故矩形区域ABCD的面积
S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4)
＝208＋6x＋≥208＋2＝288，
当且仅当6x＝，即x＝时取“＝”，
矩形区域ABCD的面积的最小值为288 m2.
5．已知函数y＝f(x)(xR)，对函数y＝g(x)(xR)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(xR)，y＝h(x)满足：对任意的xR，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)＞g(x)恒成立，等价于6x＋2b－＞，即3x＋b＞恒成立，设F(x)＝3x＋b，m(x)＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，b＝2或b＝－2(舍去)，即要使h(x)＞g(x)恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)
解析：如图所示，由题意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步，设AH＝h步，因为BCAH，所以BCF∽△HAF，所以＝，所以＝，即HF＝.因为DEAH，所以GDE∽△GHA，所以＝，所以＝，即HG＝，由题意(HG－127)－(HF－123)＝1 000，即－－4＝1 000，h＝1 255，即AH＝1 255步．
答案：1 255
7．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a，b]D和常数c，使得对任意x1[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2D，当x2[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数．给出下列结论：
“平顶型”函数在定义域内有最大值；
函数f(x)＝x－|x－2|为R上的“平顶型”函数；
函数f(x)＝sin x－|sin x|为R上的“平顶型”函数；
当t≤时，函数f(x)＝是区间[0，＋∞)上的“平顶型”函数．
其中正确的结论是________．(填序号)
解析：由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2D，当x2[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，正确；对于函数f(x)＝x－|x－2|，当x≥2时，f(x)＝2，当x＜2时，f(x)＝2x－2＜2，所以正确；函数f(x)＝sin x－|sin x|是周期为2π的函数，所以不正确；对于函数f(x)＝，当x≤1时，f(x)＝2，当x＞1时，f(x)＜2，所以正确．
8．(2018届高三·兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间近似满足函数关系y＝且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当x[200,300]时，判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损．
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？
解：(1)当x[200,300]时，设该项目所获利润为S，则S＝200x－＝－(x－400)2，
所以当x[200,300]时，S＜0，因此该项目不能获利．
当x＝300时，S取得最大值－5 000，
所以政府每个月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为
当x[120,144)时，f(x)＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，f(x)取得最小值240；
当x[144,500]时，f(x)＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，f(x)取得最小值200，因为200＜240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低．
9．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
年固定成本 每件产品的成本 每件产品的销售价 每年可最多生产的件数
甲产品 20 a 10 200
乙产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．
(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(xN*)之间的函数关系式；
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可使年利润最大．
解：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，xN*)，
y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，xN*)．
(2)10－a＞0，故y1为增函数，
当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元．
y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，xN*)，
当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．
(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：
由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，
(1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8，
当1 520－200a＞0，即6≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；
当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；
当1 520－200a＜0，即7.6＜a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．
10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3 000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩，评定为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，其对应的频率分布直方图如图所示.
等级 不及格 及格 良好 优秀
成绩 [70,90) [90,110) [110,130) [130,150]
频数 6 a 24 b
(1)求a，b，c的值；
(2)试估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数；
(3)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训．然后从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在[70,90)的频率为0.005×20＝0.1，由成绩在[70,90)内的频数为6，可知抽取的学生答卷数为＝60，则6＋a＋24＋b＝60，即a＋b＝30.
由频率分布直方图可知，成绩在[130,150]内的频率为0.010×20＝0.2，
由得a＝18，b＝12.
进而可得c＝＝0.015.
(2)由频率分布直方图可知，成绩在[130,150]内的频率为0.2，
由频率估计概率，可知从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，
设该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为n，则＝0.2，解得n＝600，
所以估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为600.
(3)评定等级为“良好”和“优秀”的学生人数之比为2412＝21，故选取的6人中评定等级为“良好”的有4人，记为a，b，c，d，评定等级为“优秀”的有2人，记为A，B，
则从这6人中任取2人，所有基本事件为AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15个，
记事件M为“所抽取的2人中有1人为‘优秀’”，则事件M含有8个基本事件，为Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，所以P(M)＝.
第二讲　临界知识问题
一、定义新知型临界问题
从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向量、数列联系考查.
[典例]　(1)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令ab＝mq－np，下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则ab＝0
C．对任意的λR，有(λa)b＝λ(ab)
D．(ab)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
[解析]　根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以ab＝mq－np＝0，所以A正确；因为ab＝mq－np，而ba＝np－mq，故二者不一定相等，所以B错误；对任意的λR，(λa)b＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(ab)，所以C正确；(ab)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选B .
[点评]　本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．
(2)若数列{an}满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2，3，…，n，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，已知对任意的nN*，an＝n2，则(a5)*＝______，((an)*)*＝______.
[解析]　因为am＜5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2.
因为(a1)*＝0，
(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，
(a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2，
(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3，
所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16，
猜想((an)*)*＝n2.
[答案]　2　n2
[点评]　本题以数列为背景，通过新定义考查学生的自学能力、创新能力、探究能力．
[创新预测]
在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意PΩ，均有QΩ，使得＝＋a，则称a为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：
若平面点集Ω存在向量周期a，则ka(kZ，k≠0)也是Ω的向量周期；
若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；
若平面点集Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，则b＝(1,2)为Ω的一个向量周期；
若平面点集Ω＝{(x，y)|[y]－[x]＝0}([m]表示不大于m的最大整数)，则c＝(1,1)为Ω的一个向量周期．
其中真命题是________(填序号)．
解析：对于，取Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，a＝(1,0)，则a为Ω的向量周期，但－a＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故是假命题；
易知是真命题；
对于，任取点P(xP，yP)Ω，则存在点Q(xP＋1，yP＋2)Ω，所以b是Ω的一个向量周期，故是真命题；
对于，任取点P(xP，yP)Ω，则[yP]－[xP]＝0，存在点Q(xP＋1，yP＋1)，所以[yP＋1]－[xP＋1]＝[yP]＋1－([xP]＋1)＝0，所以QΩ，所以c是Ω的一个向量周期，故是真命题．
综上，真命题为.
二、高等数学背景型临界问题
以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一.常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.
1．取整函数[x]
设xR，用[x]表示不大于x的最大整数，则[x]称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引入，故得名)．
[典例]　设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)
A．[－x]＝－[x]　 　 　B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y]
&D．[x－y]≤[x]－[y]
[思路分析]　解读取整函数的定义，取特殊值进行判断即可．
[解析]　取特殊值进行判断．
当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错；
当x＝1.9时，[2x]＝3,2[x]＝2，故B错；
当x＝1.1，y＝1.9时，[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，故C错．选D.
[点评]　本题是以取整函数y＝[x]为背景的新定义题型，解题的关键是理解[x]的定义．考查学生对信息的理解和运用能力．
[创新预测]
设集合A＝和B＝{x|log2(x2－[x])＝2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝________.
解析：因为＜8x＜2 017，[x]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3.
当[x]＝－3，则x2＝1，无解；
当[x]＝－2，则x2＝2，解得x＝－；
当[x]＝－1，则x2＝3，无解；
当[x]＝0，则x2＝4，无解．
当[x]＝1，则x2＝5，无解；
当[x]＝2，则x2＝6，解得x＝；
当[x]＝3，则x2＝7，无解．
综上A∩B＝{－，}．
答案：{－，}
2．最值函数
定义1：最大值、最小值　设a，bR，记min{a，b}为a，b中较小的数，max{a，b}为a，b中较大的数．若a＝b，则min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b.
定义2：最大函数、最小函数　设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．
[典例]　已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)
C．a2－2a－16
&D．a2＋2a－16
[思路分析]　理解最大、最小函数的定义，画出二次函数f(x)，g(x)的图象，从图象上即可得到A，B的取值．
[解析]　f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16.
[点评]　本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想．解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题．[创新预测]
记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“ABC为等边三角形”的(　　)
A．必要不充分条件
&B．充分不必要条件
C．充要条件
&D．既不充分也不必要条件
解析：选A　注意到0＜a≤b≤c，则有≤1，≤1，≥1，max＝.当倾斜度等于1时，ABC未必是等边三角形，如取a＝b＝2，c＝3，此时＝1，＝，＝，max·min＝·＝1，即ABC的倾斜度等于1，但ABC显然不是等边三角形．
反过来，当ABC为等边三角形时，＝＝＝1，max＝min＝1，倾斜度等于1.故选A.
3．有界函数
定义在区间D上的函数f(x)，若满足：对任意xD，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是区间D上的有界函数，其中M称为f(x)在区间D上的上界．
[典例]　已知函数f(x)＝1＋a·x＋x，若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
[思路分析]　利用有界函数的定义，将问题转化为不等式恒成立问题，再求相应函数的最大值和最小值．
[解]　由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f(x)≤3.
所以－4·2x－x≤a≤2·2x－x在[0，＋∞)上恒成立，
即max≤a≤min.
设t＝2x，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，且t[1，＋∞)，
易知h(t)＝－4t－在[1，＋∞)上单调递减，
p(t)＝2t－在[1，＋∞)上单调递增，
所以h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，
p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1.
故实数a的取值范围为[－5,1]．
[点评]　本题以有界函数为背景，考查学生解决“不等式恒成立”问题的能力，其中理解有界函数的意义是解题的关键．
[创新预测]
设函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)
A．K的最大值为
&B．K的最小值为
C．K的最大值为2
&D．K的最小值为2
解析：选B　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝′＝.
设g(x)＝－ln x－1，
则g′(x)＝－－＝－.
所以g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝1－ln 1－1＝0，
所以当x(0,1)时，g(x)＞0，
即f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当x(1，＋∞)时，g(x)＜0，
即f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的最大值为f(1)＝＝.
由fK(x)＝f(x)恒成立可得K≥.
故K的最小值为.
三、立体几何中的临界问题
在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
[典例]　某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　 　B．2
[解析]　本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有a2＋b2＝8.所以≥2a＋b≤4，故a＋b的最大值为4.
[点评]　空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考生的空间想象能力．
[创新预测]
如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________．
解析：如题图，设正四面体ABCD在平面α上的射影构成的图形面积为S，因为AB平面α，从运动的观点看，当CD平面α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面α相交时，则当CD平面α时，射影面积为最小，最小值为(证明略)，所以S.
1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)
A．y＝　　　　　　 　B．y＝
解析：选B　法一：特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.
法二：设x＝10m＋α(0≤α≤9)，当0≤α≤6时，＝＝m＝，当6＜α≤9时，＝＝m＋1＝＋1，所以选B.
2．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是(　　)
A．f(x)＝x2＋bx－1(bR)
B．f(x)＝2－|x－1|
C．f(x)＝2x－x2
D．f(x)＝x－sin x
解析：选D　因为f(x)＝x2＋bx－1(bR)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(bR)是“含界点函数”；
令2－|x－1|＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；
作出y＝x2和y＝2x的图象，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”；
因为f(x)＝x－sin x在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sin x不是“含界点函数”．
3．下列四个函数：y＝2x；y＝2x；y＝x2；y＝xsin x；y＝中，属于有界泛函数的序号是________．
解析：当x≠0时，＝2≤2；
＝|sin x|≤1；＝≤.
对于，当x≥4时，2x≥x2，＝≥＝|x|无界；对于，当x≠0时，＝|x|无界．
4．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0D使得当xD且x＞x0时，总有x→∞时f(x)－g(x)→0，则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x|x＞1}的三组函数如下：
f(x)＝x2，g(x)＝；
f(x)＝10－x＋2，g(x)＝；
f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，
其中，曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是________．(填序号)
解析：f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0.
对于：f(x)＝x2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝(x－1)→＋∞，所以不存在；
对于：f(x)＝10－x＋2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋→0，所以存在分渐近线；
对于：f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)，
当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋2＋→0，
因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是.
5．求函数f(x)＝＋1(0＜x＜100)的值域．([x]表示不大于x的最大整数)
解：当0＜x＜15时，得0＜＜1，
则＝0，f(x)＝1.
当15≤x＜100时，－1≤＜－，
所以f(x)＝－＋1，
因为1≤＜＝6，所以＝1,2,3,4,5,6，
f(x)＝0，－1，－2，－3，－4，－5.
所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}．
6．已知上凸函数f(x)在定义域内满足f＞.若函数y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，那么在ABC中，求sin A＋sin B＋sin C的最大值．
解：因为y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，则
(sin A＋sin B＋sin C)≤sin＝sin＝，即sin A＋sin B＋sin C≤，当且仅当sin A＝sin B＝sin C时，即A＝B＝C＝时，取等号．
故sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
7．已知不等式＋＋…＋＞[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1＝b(b＞0)，an≤，n＝2,3,4，….
(1)证明an＜，n＝3,4,5，…；
(2)试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜.
解：(1)证明：因为当n≥2时，0＜an≤，
所以≥＝＋，即－≥，
于是有－≥，－≥，…，－≥.
所有不等式两边相加可得－≥＋＋…＋.
由已知不等式知，当n≥3时，有－＞[log2n]．
因为a1＝b，所以＞＋[log2n]＝.
(2)因为＜，令＜，
则有log2n≥[log2n]＞10n＞210＝1 024，
故取N＝1 024，可使当n＞N时，都有an＜.
8.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，E＝60°，点B在线段ED上．
(1)当点B在何处时，平面A1BC平面A1ABB1；
(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC-A1B1C1表面积的最小值．
解：(1)由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，则AA1平面ABC，因为BC平面ABC，所以AA1BC.而AA1∩AB＝A，只需BC平面A1ABB1，即ABBC，就有“平面A1BC平面A1ABB1”．
在平行四边形ACDE中，
因为AE＝2，AC＝AA1＝4，E＝60°.
过B作BHAC于H，则BH＝.
若ABBC，有BH2＝AH·CH.
由AC＝4，得AH＝1或3.
两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．
(2)三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．
显然三棱柱ABC-A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．
过B作BHAC于H，则BH＝.
令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[＋]．
其中＋可以表示动点(x,0)到定点(0，－)和(4，)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2××4×＋42＋4×2＝4＋8＋16.
9．设P为椭圆＋＝1长轴上一个动点，过P点斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值．
解：设点P的坐标为(a,0)，直线方程为
代入椭圆方程＋＝1得(16cos2θ＋25sin2θ)t2＋32acos θt＋16a2－400＝0.
所以t1＋t2＝，t1t2＝.
所以|PA|2＋|PB|2＝t＋t＝(t1＋t2)2－2t1t2
因为|PA|2＋|PB|2的值与P无关就是与a无关，所以16cos2θ－25sin2θ＝0，所以k＝±.
10．已知mR，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)直线 l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，为什么？
解：(1)当m＝0时，直线l的斜率为0；
当m≠0时，直线l的斜率k＝＝.
当m＞0时，m＋≥2，所以0＜k≤；当m＜0时，
m＋≤－2，所以－≤k＜0.
所以直线l的斜率的取值范围是.
(2)法一：因为圆心C(4，－2)到直线l的距离d＝＝.
若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.
所以d＝＝1，即2(m2＋1)＝，
化简得3m4＋5m2＋3＝0.
而此方程无实数解，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．
法二：因为直线l的方程可化为：(m－4)x－(m2＋1)y＝0，所以直线l恒过点(4,0)，此点正好是圆C与x轴的切点，由几何知识可得要使直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则直线l的倾斜角为60°或120°，所以直线l的斜率为±，这与k矛盾，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．
[考前状态调节专练]　　　　　　　　　　“小题提速＋保分大题”专练　　　 　　
120分(12＋4＋3＋2)保分练(一)
(满分：126分　限时：90分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥2}，则(UA)∩B＝(　　)
A．{x|x≤2}　　　　　　 　B．{x|x≥3}
C．{x|2＜x≤3}
&D．{x|2≤x≤3}
解析：选D　由条件，得UA＝{x|x≤3}，
(?UA)∩B＝{x|2≤x≤3}．
2．设i为虚数单位，则满足条件zi＝3＋4i的复数z在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第四象限
&B．第三象限
C．第二象限
&D．第一象限
解析：选A　z＝＝＝4－3i，所以z在复平面内对应的点位于第四象限．
3．已知sin＝，则cos x＋cos的值为(　　)
解析：选B　因为sin＝sin x＋cos x＝，所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝.
4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－1，S6＝39，则a3＋a4＝(　　)
解析：选A　法一：由题意，得6×(－1)＋×d＝39(d为公差)，解得d＝3，所以a3＋a4＝－1＋2×3－1＋3×3＝13.
法二：因为S6＝＝3(a1＋a6)＝39，所以a3＋a4＝a1＋a6＝13.
5．已知O为坐标原点，M是双曲线C：x2－y2＝4上的任意一点，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为(　　)
解析：选B　因为M是双曲线C：x2－y2＝4上的任意一点，所以可设M(x，y)，其中一条渐近线方程为x－y＝0，则|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝＝，所以|ON|·|MN|＝＝2.
6．在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，使x满足不等式2x－1≥m(m≤3)的概率为，则实数m＝(　　)
解析：选A　由2x－1≥m，得x≥，由m≤3，得≤2，由x满足不等式2x－1≥m(m≤3)的概率为，得＝，解得m＝0.
7．已知x，y满足如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数m的取值范围为(　　)
&D．(－∞，0]
解析：选C　由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z＝的几何意义为可行域内的点(x，y)与A(m，－1)连线的斜率．
由得即B(2，－1)．
由题意知m＝2不符合题意，故点A与点B不重合，
因而当连接AB时，斜率取到最小值0，
故点A在直线y＝－1上．
由y＝－1与2x－y－2＝0得交点C，
在点A由点C向左移动的过程中，可行域内的点与点A连线的斜率小于2，
因而目标函数的取值范围满足z[0,2)，则m＜.
8．函数y＝e|x|－x3的大致图象是(　　)
解析：选A　易知函数y＝e|x|－x3为非奇非偶函数，排除B；当x＜0时，y＞0，排除C；当x＝2时，y＝e2－8＜0，排除D，故选A.
9.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是(　　)
解析：选D　如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.
10．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出n的值为(　　)
解析：选A　当n＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n＝17.
11．已知三棱锥A-BCD外接于球O，底面BCD的边CD经过球心O，若三棱锥A-BCD的体积的最大值为，则球O的表面积为(　　)
解析：选B　设球的半径为r，因为底面BCD的边CD经过球心O，所以BCD为直角三角形，CD＝2r.若使三角形的面积最大，则点B到边CD的距离最大即可．因为B，C，D三点共面，所以最大距离为半径r，BCD面积的最大值为×2r×r＝r2.点A到平面BCD的最大距离为r，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为r2·r＝r3＝，解得r＝4，所以该球的表面积为4π×42＝64π.
12．已知数列{an－2}是公比为的等比数列，且a1＝，设Tn＝＋＋…＋(nN*)，则Tn的取值范围为(　　)
解析：选D　因为a1－2＝－，则an－2＝－n，即an＝2－，于是＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－＜，当n＝1时，Tn取得最小值，故≤Tn＜.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为________．
解析：因为双曲线的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．已知向量与的夹角为120°，|－|＝2，|－|＝3，若向量＝λ＋，且，则实数λ的值为________．
解析：由条件可知||＝2，||＝3，
于是·＝2×3×＝－3.
由，得·＝0，
即(λ＋)·(－)＝0，
所以||2＋(λ－1)·－λ||2＝0，
即9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝.
15．已知函数f(x)＝xln x＋mx2－m在定义域内不存在极值点，则实数m的取值范围为________．
解析：依题意，f′(x)＝ln x＋1＋2mx(x＞0)，
故函数f′(x)不存在变号零点．
令f′(x)＝0，故ln x＋1＋2mx＝0，
即－2m＝；
令g(x)＝，故g′(x)＝，
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增；
当x＞1时，g′(x)＜0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x＝1时，函数g(x)有极大值也是最大值1，无最小值．
所以要使函数f(x)在定义域内不存在极值点，
则需－2m≥1，m≤－.
16．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y＝－的距离记为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为________．
解析：设|MF|＝m，|NF|＝n，
y＝－是抛物线y＝4x2的准线，d＝(m＋n)．
又|MN|2＝m2＋n2－2mncos 135°＝m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2＋(－2)mn≥(m＋n)2＋(－2)×
＝×(m＋n)2，
λ＝≥＝＋2.
当且仅当m＝n时等号成立，故λ的最小值为＋2.
三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，且·＝0，sinBAC＝，AB＝3，BD＝.
(1)求AD的长；
(2)求cos C的值．
解：(1)因为·＝0，所以ADAC，
所以sinBAC＝sin＝cosBAD，
因为sinBAC＝，所以cosBAD＝.
在ABD中，由余弦定理可得，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosBAD，
把AB＝3，BD＝代入上式，化简可得AD2－8AD＋15＝0，
解得AD＝5或AD＝3.
因为AB＞AD，所以AD＝3.
(2)在ABD中，由正弦定理可得，
又由cosBAD＝可得sinBAD＝，
所以sinADB＝＝.
因为ADB＝DAC＋C＝＋C，
所以cos C＝cos＝sinADB＝.
18．(本小题满分12分)在如图所示的四棱锥E-ABCD中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD平面ABE，AEB＝90°，AE＝BE.
(1)若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN平面ABE，并给出证明；
(2)求四棱锥E-ABCD的体积．
解：(1)连接BD交AC于点N，则点N即为所求．
证明如下：
四边形ABCD是正方形，
N是BD的中点，
又M是DE的中点，MN∥BE，
BE?平面ABE，MN平面ABE，
MN∥平面ABE.
(2)取AB的中点F，连接EF，
ABE是等腰直角三角形，
EF⊥AB，EF＝AB＝1，
平面ABCD平面ABE，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，
EF平面ABE，
EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高，
V四棱锥E-ABCD＝S正方形ABCD·EF＝×22×1＝.
19．(本小题满分12分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 011，z＝y－5，得到下表2：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：对于线性回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
解：(1)＝3，＝2.2，izi＝45，＝55，
＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4，z＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 011，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 011)－1.4，即y＝1.2x－2 409.6.
(3)y＝1.2×2 020－2 409.6＝14.4，
预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达14.4千亿元．
四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)由消去t得x＋y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
由ρ＝2cosθ－＝2cos θcos＋sin θsin＝2cos θ＋2sin θ，
得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，
得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
所以曲线 C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)法一：设曲线C上的点P(1＋cos α，1＋sin α)，则点P到直线l的距离d＝＝＝.
当sin＝－1时，dmax＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
法二：设与直线l平行的直线l′：x＋y＋b＝0(b≠－4)，
当直线l′与圆C相切时，＝，
解得b＝0或b＝－4(舍去)，
所以直线l′的方程为x＋y＝0.
所以直线l与直线l′的距离d＝＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.
(1)若f(1)＜3，求实数a的取值范围；
(2)若a≥1，xR，求证：f(x)≥2.
解：(1)因为f(1)＜3，所以|a|＋|1－2a|＜3.
当a≤0时，得－a＋(1－2a)＜3，
解得a＞－，所以－＜a≤0；
当0＜a＜时，得a＋(1－2a)＜3，
解得a＞－2，所以0＜a＜；
当a≥时，得a－(1－2a)＜3，
解得a＜，所以≤a＜.
综上所述，实数a的取值范围是.
(2)证明：f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|，
因为a≥1，所以f(x)≥3a－1≥2.
120分(12＋4＋3＋2)保分练(二)
(满分：126分　限时：90分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则AB＝(　　)
A．[－2,2]　　　　　　　 　B．[－2,4]
解析：选B　A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，
A∪B＝{x|－2≤x≤4}．
2．“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(aR)为纯虚数”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若a2－1＋2(a＋1)i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，反之也成立．故选A.
3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
解析：选B　由题意可得，c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±.
4．如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为(　　)
解析：选B　最小范围内的最高点坐标为，原点到最高点的距离为半径，即n2＝＋3，解得n＝2.
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
解析：选A　由三视图知，该几何体是由两个相同的直三棱柱AOD-EFG和BOF-CDG组合而成的，如图所示，则该几何体的表面积为×2×1＋×(1＋2)×2＋2×＋×(1＋2)×2＋2×＋×2×1＝8＋4.
6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象与直线y＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f(x)的单调递减区间是(　　)
解析：选A　f(x)＝2sin，
由题意得T＝π，即＝π，所以ω＝2，
则f(x)＝2sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，kZ，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，kZ，
故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.
7．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)
解析：选A　由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为.
8．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是(　　)
解析：选C　由茎叶图知平均值为＝125，s2＝[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.
9．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
解析：选B　如图，由||＝||＝||知，D为ABC的外心，由·＝·＝·知，D为ABC的垂心，所以ABC为正三角形，易知其边长为2.由||＝1，知点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，取AC的中点E，则||＝3，因为M是PC的中点，所以|EM|＝|AP|＝，当B，E，M三点共线时，||最大，所以||max＝||＋＝，则||＝.
10．已知实数x，y满足不等式组若直线x＋y＋b＝0与不等式组表示的平面区域无公共点，则b的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5)(－1，＋∞)
D．(－5，－1)
解析：选C　作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＋y＋b＝0过点A(1,0)时，b＝－1，其纵截距为1；当直线x＋y＋b＝0过点B(3,2)时，b＝－5，其纵截距为5，所以当直线x＋y＋b＝0与不等式组表示的可行域无交点时，b＞－1或b＜－5.
11．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若－7·－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是(　　)
解析：选C　{an}是正项等比数列，
设{an}的公比为q(q＞0)，
＝q6，＝q3，
q6－7q3－8＝0，解得q＝2，
又a1ama2n＝2a，a·2m＋2n－2＝2(a124)3＝a213，
m＋2n＝15，
＋＝(m＋2n)
当且仅当＝，n＝2m，即m＝3，n＝6时等号成立，
＋的最小值是.
12．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)(0,1)
&B．(－∞，－1)(1，＋∞)
C．(－1,0)(1，＋∞)
&D．(－1,0)(0,1)
解析：选D　根据题意，设函数g(x)＝(x≠0)，
当x＞0时，g′(x)＝＜0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数．
又f(1)＝0，所以g(1)＝0，
故g(x)在(－1，0)(0,1)上的函数值大于零，
即f(x)在(－1,0)(0,1)上的函数值大于零．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．
解析：若要开启1号阀门，由知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由知，关闭4号阀门，由知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．
答案：2号和3号
14．若函数f(x)＝4sin 5ax－4cos 5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________．
解析：因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.
15．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足PF2F1＝2PF1F2，则双曲线的离心率e为________．
解析：直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，PF1F2＝30°，PF2F1＝60°，F2PF1＝90°，即F1PF2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|·sin 60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.
16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________．
解析：由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝21－|x|，
与y＝21－|x|的图象如图所示，可知它们有2个交点，所以零点有2个．
三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋a，数列{bn}满足bn＝2－log2a.
(1)求常数a的值；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22＋a＝4＋a，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋a－(2n＋a)＝2n，
{an}为等比数列，a＝a1·a3，
即(22)2＝(4＋a)·23，解得a＝－2.
(2)由(1)知an＝2n，则bn＝2－log223n＝2－3n，
bn＋1－bn＝－3对一切nN*都成立，
{bn}是以－1为首项，－3为公差的等差数列，
Tn＝nb1＋d＝.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB＝2DC＝2，AC∩BD＝F.且PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心．
(1)求证：GF平面PDC；
(2)求三棱锥G-PCD的体积．
解：(1)证明：法一：连接AG交PD于H，连接CH.
由四边形ABCD为梯形，ABCD且AB＝2DC，
又E为AD的中点，G为PAD的重心，
在ACH中，＝＝，故GFHC.
又HC平面PCD，GF平面PCD，
GF∥平面PDC.
法二：过G作GKPD交AD于K，连接KF，GF，如图所示．
由PAD为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心，
得DK＝DE，
又由四边形ABCD为梯形，ABCD，且AB＝2DC，
得＝，FC＝AC.
在ADC中，KFDC，
GK∩KF＝K，PD∩DC＝D，
平面GKF平面PDC，
又GF平面GKF，GF∥平面PDC.
(2)法一：平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，
PE⊥AD，BEAD，PE平面ABCD，且PE＝3.
由(1)知GF平面PDC，
VG -PCD＝VF-PCD＝VP-CDF＝×PE×SCDF.
又由四边形ABCD为梯形，ABCD，且AB＝2DC＝2，知DF＝BD＝.
由ABD为正三角形，得CDF＝ABD＝60°，
S△CDF＝×CD×DF×sinBDC＝，
VP-CDF＝×PE×SCDF＝，
三棱锥G-PCD的体积为.
法二：由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，
得PEAD，BEAD，PE平面ABCD，且PE＝3，
PG＝PE，VG -PCD＝VE-PCD＝VP-CDE＝××PE×SCDE，
由ABD为正三角形，得EDC＝120°，
S△CDE＝×CD×DE×sinEDC＝.
VP-CDE＝×PE×SCDE＝×3×＝，
三棱锥G-PCD的体积为VP-CDE＝×＝.
19．(本小题满分12分)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．
(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类 选择社会科学类 总计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解：(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.
(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：
选择自然科学类 选择社会科学类 总计
男生 60 45 105
女生 30 45 75
总计 90 90 180
K2＝＝≈5.143＞5.024.
在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为科类的选择与性别有关．
四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线l：(t为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．
解：(1)直线l的普通方程为x－y－1＝0.
由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得
2＋2＝4，即t2－t－3＝0，
设方程t2－t－3＝0的两根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝，t1t2＝－3，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求mn的最小值．
解：(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|，
即|x－1|≥2，
x－1≥2或x－1≤－2，
即x≥3或x≤－1，
原不等式的解集为(－∞，－1][3，＋∞)．
(2)f(x)≤1|x－a|≤1－1≤x－a≤1a－1≤x≤a＋1，
f(x)≤1的解集为[0,2]，
＋＝1≥2(m＞0，n＞0)，
mn≥2，当且仅当m＝2，n＝1时取等号．
mn的最小值为2.
120分(12＋4＋3＋2)保分练(三)
(满分：126分　限时：90分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z＝，则z的虚部为(　　)
A．－i　　　　　　　　　　 　B.i
解析：选D　z＝＝＝(4＋3i)＝＋i，故选D.
2．已知a，b是平面向量，若|a|＝，|b|＝，(a＋2b)(2a－b)，则a·b的值为(　　)
解析：选A　由题意可得(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，也即3a·b＝－6，故a·b＝－2.
3．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
解析：选A　tan α＝，
cos2α＋2sin 2α＝＝
4．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－6，则a的值为(　　)
解析：选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a≥0时，易知z＝y－x无最小值，故a＜0，平移直线y＝x，当直线经过点A时，
z＝y－x有最小值，
联立解得A，zmin＝0＋＝－6，解得a＝－.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．24＋6π
C．24＋12π
解析：选A　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.
6．已知四面体P-ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA平面PBC，则四面体P-ABC的外接球半径为(　　)
解析：选A　PA⊥平面PBC，AC＝2，PA＝4，
PC＝2，PBC为等边三角形，
设其外接圆半径为r，则r＝2，
又球心O在底面PBC的投影即为PBC的外心，
外接球半径为 ＝2.
7．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝9，则输入的整数P的最小值是(　　)
解析：选C　模拟程序框图的运行过程，如下：
n＝1，S＝0，输入P，S＝0＋2＝2，n＝2，S≤P，
S＝2＋22＝6，n＝3，S≤P，
S＝－6＋23＝2，n＝4，S≤P，
S＝2＋24＝18，n＝5，S≤P，
S＝－18＋25＝14，n＝6，S≤P，
S＝14＋26＝78，n＝7，S≤P，
S＝－78＋27＝50，n＝8，S≤P，
S＝50＋28＝306，n＝9，S&P，
终止循环，输出n＝9，
所以P的最小值为78.
8．函数y＝的图象大致是(　　)
解析：选D　易知函数y＝是偶函数，可排除B，当x＞0时，y＝xln x，y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞e－1，所以当x＞0时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.
9.函数y＝f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，关于函数y＝f(x)(xR)，有下列命题：
y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；
y＝f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到；
y＝f(x)的图象关于点对称；
y＝f(x)在上单调递增．
其中正确命题的个数是(　　)
解析：选C　依题意可得T＝2×＝π，
故T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由 f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点，
可得2sin2×＋φ＝2，即sin＝1，
又－＜φ＜，故φ＝－， 即f(x)＝2sin.
因为f＝2sin＝0，
所以错误，正确；
y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin 2x－＝2sin的图象，正确；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ，
取k＝0，得－≤x≤，
即y＝f(x)在上单调递增，正确．
10．今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？(　　)
解析：选D　由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an＝103＋13(n－1)＝13n＋90.
驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn＝97－(n－1)＝－n＋，
二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，
所以＋＝2 250，
即＋＝2 250，
化简得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)．
11．已知A，B是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)
&B．[2，＋∞)
&D．[，＋∞)
解析：选B　如图，设点P是双曲线左支上的点，并设双曲线左顶点为E，则2|＋|≤||，可化为4||≤2c(2c为双曲线的焦距)，||≤c，易证||≥a，于是a≤c，所以e≥2.
12．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2,2] 上仅有一个实根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－4,0][1,28)
&B．[－4,28]
C．[－4,0)(1,28]
&D．(－4,28)
解析：选C　设函数f(x)＝2x3－3x2＋a，
f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，x[－2,2]．
令f′(x)＞0，得－2≤x＜0或1＜x≤2，
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，
f(x)在(0,1)上单调递减，
在[－2,0)，(1,2]上单调递增．
又f(－2)＝－28＋a，f(0)＝a，
f(1)＝－1＋a，f(2)＝4＋a，
－28＋a≤0＜－1＋a或a＜0≤4＋a，
即a[－4,0)(1,28]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应抽取的人数是________．
解析：男员工应抽取的人数为×15＝9.
14．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2 016，f＝4，则f(2 017)＝________.
解析：设F(x)＝f(x)－2 016，则F＝alog2 ＋blog3 ＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，所以F(2 017)＝－F＝－(4－2 016)＝2 012，f(2 017)＝F(2 017)＋2 016＝4 028.
答案：4 028
15．已知直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点M，N，且·＝－4，O是坐标原点，则直线l必过定点________．
解析：设l：x＝ky＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ky－4b＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4b，·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋b)(ky2＋b)＋y1y2
＝k2y1y2＋bk(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bk2＋4bk2＋b2－4b＝b2－4b＝－4，
b＝2，直线l过定点(2,0)．
答案：(2,0)
16．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是________．
解析：设x[0,2]，则－x[－2,0]，
f(－x)＝－x－1＝2x－1，
f(x)是定义在R上的偶函数，
f(x)＝f(－x)＝2x－1.
对任意xR，都有f(x)＝f(x＋4)，
当x[2,4]时，(x－4)[－2,0]，
f(x)＝f(x－4)＝x－4－1；
当x[4,6]时，(x－4)[0,2]，
f(x)＝f(x－4)＝2x－4－1.
在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，
函数y＝f(x)的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，
作出两个函数的图象如图所示，
易知解得2＜a＜2，即＜a＜2，
因此所求a的取值范围是(，2)．
答案：(，2)
三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，已知c＝a2－b2.
(1)求角A；
(2)若a＝，求b＋c的取值范围．
解：(1)由c＝a2－b2，cos B＝，
得a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，a2＝b2＋c2－bc.
a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝.
A∈(0，π)，A＝.
(2)法一：＝＝＝2，
b＝2sin B，c＝2sin C.
b＋c＝2sin B＋2sin C
＝2sin B＋2sin(A＋B)
＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B
＝2sin B＋2×cos B＋2×sin B
＝3sin B＋cos B
B∈，B＋，
b＋c(，2 ]．
法二：a＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
3≥(b＋c)2－32，
(b＋c)2≤12，即b＋c≤2.
当且仅当b＝c＝时，取等号．
b＋c＞a＝，b＋c(，2 ]．
18．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD(图)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，BAD＝30°，BAC＝45°，将ABC沿AB折起，构成如图所示的三棱锥C′-ABD.
(1)当C′D＝时，求证：平面C′AB平面DAB；
(2)当AC′BD时，求三棱锥C′-ABD的高．
解：(1)证明：当C′D＝时，
取AB的中点O，连接C′O，DO，
在RtAC′B，RtADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，
C′O2＋DO2＝C′D2，即C′OOD，
又C′OAB，AB∩OD＝O，AB平面ABD，OD平面ABD，C′O⊥平面ABD，
C′O?平面C′AB，平面C′AB平面DAB.
(2)当AC′BD时，由已知AC′BC′，
BC′∩BD＝B，AC′⊥平面BDC′，
C′D?平面BDC′，AC′⊥C′D，AC′D为直角三角形，
由勾股定理得，C′D＝＝＝1，
而在BDC′中，BD＝1，BC′＝，
BDC′为直角三角形，SBDC′＝×1×1＝.
三棱锥C′-ABD的体积V＝×SBDC′×AC′＝××＝.
SABD＝×1×＝，
设三棱锥C′-ABD的高为h，
则由×h×＝，解得h＝.
故三棱锥C′-ABD的高为.
19．(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由；
(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当x＝3时，估计该市居民的月平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.
(2)前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，
2.5＜x＜3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
(3)设居民月用水量为t吨，相应的水费为y元，则
由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
分组 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10) [10，12) [12，16) [16，20) [20，24]
频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02
根据题意，该市居民的月平均水费估计为
1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)．
四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分)
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12，曲线C2的参数方程为(t为参数)，α.
(1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；
(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P(1,0)，当|PA|＋|PB|＝时，求cos α的值．
解：(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12得＋＝1，该曲线是椭圆．
(2)将代入＋＝1，
得(4－cos2α)t2＋6tcos α－9＝0，
所以t1＋t2＝，t1t2＝，
由直线参数方程的几何意义，
设|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，
所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝.
因为α，所以cos α＝.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
(1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；
(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba.
解：(1)由y＝| x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，只需m≥6.
所以实数m的取值范围为[6，＋∞)．
(2)证明：因为a，b均为正数，所以要证aabb≥abba，
只需证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.
当a≥b时，a－b≥0，≥1，可得a－b≥1，
当a＜b时，a－b＜0,0＜＜1，可得a－b＞1，
故a，b均为正数时，a－b≥1，
当且仅当a＝b时等号成立，
故aabb≥abba成立．
120分(12＋4＋3＋2)保分练(四)
(满分：126分　限时：90分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－7x＋5≤0，xZ}，若P∩Q≠，则m＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B．2
解析：选D　依题意得Q＝{x|(2x－5)(x－1)≤0，xZ}＝＝{1,2}，因为P∩Q≠，P＝{0，m}，所以m＝1或m＝2.
2．复数＝(　　)
解析：选A　＝＝＝＝i.
3．设{an}是公差不为零的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前12项和等于(　　)
解析：选C　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)，由a＋a＝a＋a，得(a1＋4d)2＋(a1＋5d)2＝(a1＋6d)2＋(a1＋7d)2，整理得2a1＋11d＝0，即a1＋a12＝0，所以S12＝＝0.
法二：由a＋a＝a＋a，得a－a＝a－a，即(a5＋a7)(a5－a7)＝(a8＋a6)(a8－a6)．因为{an}是公差不为零的等差数列，设其公差为d(d≠0)，则2a6×(－2d)＝2a7×2d，即a6＋a7＝0，所以S12＝＝6(a6＋a7)＝0.
4．由函数g(x)＝4sin xcos x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，则f＝(　　)
解析：选C　函数g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝2sin的图象，
即f(x)＝2sin.故f＝2sin
＝2sin＋＝2
＝2×＋×＝.
5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1，x)，若a(a－b)，则x＝(　　)
解析：选D　因为a＝(2,4)，b＝(－1，x)，所以a－b＝(3,4－x)，因为a(a－b)，所以a·(a－b)＝2×3＋4(4－x)＝0，解得x＝5.5.
6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是(　　)
A.　　　 　 B．4π
C．6π　　　　　　D．12π
解析：选A　这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面半径为2，高为1的圆锥，故其体积为π×12×2＋π×22×1＝.
7.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积分别称朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1，若向弦图内随机抛掷3 000颗图钉，则落在黄色图形内的图钉数约为(≈1.732)(　　)
解析：选C　设大正方形的边长为2，由图中直角三角形的两直角边长之比为1，可得小正方形的边长为－1，所以小正方形与大正方形的面积比值为＝1－，所以落在小正方形内的图钉数为×3 000≈×3 000＝402.
8．在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为(　　)
解析：选D　由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝.
9．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
&B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
&D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D　由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
10．函数f(x)＝＋ln |x|的图象大致为(　　)
解析：选B　因为f(1)＝1，排除A项；当x&0时，f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，所以当0&x&1时，f′(x)&0，f(x)单调递减，当x&1时，f′(x)&0，f(x)单调递增，排除D项，又f(－1)＝－1，排除C项，故选B.
11．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
解析：选B　椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2，0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.又kPA2＝，kPA1＝，所以kPA2·kPA1＝＝－.又kPA2[－2，－1]，所以kPA1.
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是(　　)
解析：选A　设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a.如图所示，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有2个，故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有3个，此时0&a&1. 40=&& 0.037=&& 0.012=&& 40.=&&&1,1＋＋＋…＋&，1＋＋＋…＋&2,1＋＋＋…＋&，…，照此规律，第6个不等式为________________．
解析：观察不等式的规律知1＋＋&1＝，1＋＋＋…＋&，1＋＋＋…＋&，1＋＋＋…＋&，…，由此猜测第6个不等式为1＋＋＋…＋&.
答案：1＋＋＋…＋&
15．若tan α＋＝，α，则sin＋2coscos2α的值为________．
解析：因为tan α＋＝，α，
所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或.
因为α，所以tan α&1，所以tan α＝3，
所以sin＋2coscos2α
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝(sin 2α＋2cos 2α＋1)
16．设抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF|＝，则M点的横坐标为___．
解析：由题意得F(1,0)，准线方程为x＝－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为y＝k(x－1)，
代入抛物线方程消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1.
又设P(x0，y0)，则y0＝(y1＋y2)＝[k(x1－1)＋k(x2－1)]＝，所以x0＝，所以P.
因为|PF|＝x0＋1＝＋1＝，解得k2＝2，
所以M点的横坐标为＝＝2.
三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)Sn＝2an－a1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，
an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，
2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.
数列{an}是首项为2，公比为2等比数列，
(2)an＋1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.
bn＝＝＝－.
数列{bn}的前n项和
Tn＝＋＋…＋＝.
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD平面SAB；
(2)求四棱锥S-ABCD的高．
解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，DB，
则四边形BCDE为矩形，
DE＝CB＝2，
侧面SAB为等边三角形，AB＝2，
SA＝SB＝AB＝2.
SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2，
DSA＝DSB＝90°，即SDSA，SDSB，
又SA∩SB＝S，SD⊥平面SAB.
(2)设四棱锥S-ABCD的高为h，
则h也是三棱锥S-ABD的高．
由(1)，知SD平面SAB.
由VS-ABD＝VD-SAB，得SABD·h＝SSAB·SD，
又SABD＝AB·DE＝×2×2＝2，
SSAB＝AB2＝×22＝，SD＝1，
故四棱锥S-ABCD的高为.
19．(本小题满分12分)某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表：
成绩优秀 成绩一般 总计
对照班 20 90 110
翻转班 40 70 110
总计 60 160 220
(1)根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关；
(2)为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样的方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽出3名交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解：(1)K2＝＝≈9.167&10.828， 0=&& 1=&& 2=&& 3=&& 4=&& 8=&& 9=&& 16=&& 25=&& 49=&& 2.=&& .=&& asin=&& 0.=&& r.=&& 4.=&& 3.=&& b.=&& c.=&& b=&& a=&& 015=&& 016=&& 017=&& 018=&& d=&& 018.=&& c=&& 1.=&& d.=&& kz.=&& 2sin.=&& s6=&& s5=&& s4=&& s3=&& 8.=&&&0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
解析：令ωx＝X，则函数y＝2sin X与y＝2cos X图象交点坐标分别为，，kZ.因为距离最短的两个交点的距离为2，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝，所以T＝4＝，所以ω＝.
15．已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝________.
解析：因为f(x)＝＋sin x，所以f(－x)＝－sin x＝－sin x，所以f(x)＋f(－x)＝2.则f(2 017)＋f(－2 017)＝2，f(2 016)＋f(－ 2 016)＝2.而f(0)＝＋sin 0＝1，所以f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝5.
16．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义知c＞a，故离心率e＝(1,3]．
答案：(1,3]
三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知数列{an}的