求矩阵的秩和向量组的秩秩，用C语言编写

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-25 04:15 标签： 向量组的秩与矩阵的秩
C语言（C、C++、C#）方面的矩阵求秩算法为什么没一个对的？_百度知道
C语言（C、C++、C#）方面的矩阵求秩算法为什么没一个对的？
查阅了很多资料，发现所有数值算法关于矩阵求秩的算法都有问题，当矩阵的列数大于行数时程序就会报错。（我当然知道转置的矩阵秩是一样的。）
另外，齐次线型方程组的算法里我也没有找到能够处理有无限多解情况的。
这也太不科学了，这两个严肃的问题虽然简...
我有更好的答案
算这些的话，换个软件 ，matlab 求你说的这些很容易，用的也是C编程
采纳率：55%
看吧，我看看吧
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求向量组的秩与极大无关组(修改整理).doc 6页
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求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
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求向量组的秩与最大无关组
对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组
1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵
矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)
①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
【例1】 求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.
解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．
解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为
阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．
2、求向量组的最大线性无关组的方法
逐个选录法
给定一个非零向量组A：(1, (2,…, (n
①设(1( 0，则(1线性相关，保留(1
②加入(2，若(2与 (1线性相关，去掉(2；若(2与 (1线性无关，保留(1 ，(2；
③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：的最大无关组
解：因为a1非零，故保留a1
取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2
取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2 ，a3线性相关。
所以最大无关组为a1，a2
初等变换法
矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.
证明从略,下面通过例子验证结论成立.
向量组：(1=(1,2,3)T, (2=(-1,2,0)T, (3=(1,6,6)T
由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：
（1）列向量行变换
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．
【例3】求向量组 ：(1=(2,1,3,-1)T, (2=(3,-1,2,0)T, (3=(1,3,4,-2)T, (4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
以(1,(2,(3,(4为列构造矩阵A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
知r(A)=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故(1,(2为向量组的一个最大无关组
知r((1,(2)=2, 故(1,(2 线性无关
为把(3,(4用(1,(2线性表示, 把A变成行最简形矩阵
记矩阵B=((1, (2, (3, (4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量(1,(2,(3,(4与向量(1, (2, (3, (4之间有相同的线性关系。
因此(3=2(1-(2,
(4=-(1+2(2
【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：
解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B
再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.
用最大线性无关组表示其它向量的方法为：
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；
④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．
【例5】 求向量组，，，的秩和一个最大无关组.
　　(1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
　　(2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
　　(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则　，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.
（2）行向量列变换
同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。
【例6】 求向量组，，，，的一个最大无关组.
解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形: （行向量列变换）
由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组.
线性相关法 （了解）
若非零向量组A：(1, (2,…, (n线性无关，则A的最大无关组就是(1, (2,…, (n
若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组
二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：
1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩
2、等价向量组有相同的秩
3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组
【例7】 设向量组的秩为.又设
求向量组的秩.
解 法1： 由于，
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