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信号与系统（郑君里）课后答案第二章习题解答
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第 1页共 65页目录第1 章概念习题解析.................................................................................................... 2 第2 章线性时不变系统的系统描述和系统响应 5 第3 章连续信号的傅里叶变换习题解析.................................................................. 15 第4 章连续时间信号与系统的傅里叶分析习题解析............................................. 22 第5 章拉普拉斯变换习题解析.................................................................................. 30 第6 章离散信号习题解析.......................................................................................... 48 第7章Z 变换习题解析.............................................................................................. 54 江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 2页共 65页第1 章概念习题解析 1-1 题 1-1 图示信号中, 哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是非周期信号?哪些是有始信号? (c) (d) 题 1-1 图解(a) 、(c) 、(d) 为连续信号; (b) 为离散信号; (d) 为周期信号; 其余为非周期信号; (a) 、(b) 、(c) 为有始(因果)信号。 1-2 给定题 1-2 图示信号 f(t) ,试画出下列信号的波形。[ 提示: f(2t) 表示将 f(t) 波形压缩, f(2 t )表示将 f(t)波形展宽。] (a)2f(t ?2) (b) f(2t) (c)f(2 t ) (d) f( ?t +1)题 1-2 图解以上各函数的波形如图 p1-2 所示。江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 3页共 65页图 p1-2 1-3 如图 1-3 图示,R、L、C元件可以看成以电流为输入,电压为响应的简单线性系统 S R、 S L、 S C,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题 1-3 图解各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(tiRtu RR??;t tiLtu LLd )(d)(?;???? tCCiC tu??d)( 1)( 1-4 如题 1-4 图示系统由加法器、积分器和放大量为?a的放大器三个子系统组成,系统属于何种联接形式?试写出该系统的微分方程。题 1-4 图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为 x(t),由于)()()()(tyatftx???且)()(,d)()(tytxttxty ????故有)()()(taytfty??? S RS LS C 江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 4页共 65页即)()()(tftayty??? 1-5 已知某系统的输入 f(t)与输出 y(t)的关系为 y(t)=|f(t )|, 试判定该系统是否为线性时不变系统? 解设T为系统的运算子,则可以表示为: )( )]([)(tftfTty??不失一般性,设 f(t)=f 1(t)+f 2(t),则)()( )]([ 111tytftfT??;)()( )]([ 222tytftfT??故有)()()( )]([ 21tytftftfT???显然)()()()( 2121tftftftf???即不满足可加性,故为非线性时不变系统。 1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。(1)??? tft tfty 0d)(d )(d)(??(2))()(3)()(tftytyty ???????(3))(3)()(2tftytyt???(4))()( )]([ 2tftyty???解(1) 线性; (2) 线性时不变; (3) 线性时变; (4) 非线性时不变。 1-7 试证明方程)()()(tftayty???所描述的系统为线性系统。式中 a为常量。证明不失一般性,设输入有两个分量,且)()()()( 2211tytftytf??, 则有)()()( 111tftayty???)()()( 222tftayty???相加得)()()()()()( 212211tftftaytytayty???????即????)()()()()()(d d 212121tftftytyatytyt ?????可见)()()()( 2121tytytftf???即满足可加性,齐次性是显然的。故系统为线性的。 1-8若有线性时不变系统的方程为)()()(tftayty???若在非零 f(t)作用下其响应 tty ???e1)( ,试求方程)()(2)()(tftftayty ?????的响应。解因为 f(t)? tty ???e1)( ,由线性关系,则)e1(2)(2)(2 ttytf ????由线性系统的微分特性,有 ttytf ?????e)()( 故响应 ttttytftf ???????????e2e)e1(2)()()(2 江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 5页共 65页第2 章线性时不变系统的系统描述和系统响应习题解析 2-1 如图 2-1 所示系统,试以 u C(t)为输出列出其微分方程。题 2-1 图解由图示,有 t uCR uid L??又??? ttuuL i 0 CSLd)( 1 S)( 1uCR uuuL ??????从而得)( 1)( 1)( 1)( tu LC tu LC tu RC tu?????? 2-2 设有二阶系统方程 0)(4)(4)(??????tytyty 在某起始状态下的 0 +起始值为 2)0(,1)0(?????yy 试求零输入响应。解由特征方程? 2+4?+4 =0 得? 1= ? 2= ?2 则零输入响应形式为 tetAAty 221 zi)()( ???由于江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 6页共 65页 y zi(0 +)=A 1=1?2A 1+A 2=2 所以 A 2=4 故有0,)41()( 2 zi????tetty t 2-3 设有如下函数 f(t),试分别画出它们的波形。(a)f(t)=2 ?(t ?1) ?2 ?(t ?2) (b) f(t)= sin ?t[?(t)??(t?6)] 解(a) 和(b) 的波形如图 p2-3 所示。图 p2-3 2-4 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号。题 2-4 图解(a)f(t)=?(t)?2?(t?1)+?(t?2) 江西财经大学信号与系统第 5 版习题全解第 7页
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连续时间信号与系统的S域分析
连续时间信号与系统的S域分析? 连续时间信号的复频域分析 ? 连续时间系统的复频域分析 ? 连续时间系统函数与系统特 性 ? 连续时间系统的模拟连续时间信号的复频域分析? ? ? ? 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系? 拉普拉斯变换反变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换f (t)=e?tu(t) ?&0的傅里叶变换？ 不存在!将f(t)乘以衰减因子e-?tF[ f (t )e??t]?????f (t )e??t ? j?tedt ? ? e e0?? ?t ?(? ? j? )tdt?( s ?? ) t ? e dt 令s ? ? ? j? ?0若? ??1 ? s ??推广到一般情况F[ f (t )e??t]?? ????? ??f (t )e??t ? j?tedt????f (t )e ?(? ? j? )t dt? st令s=? +j?? ? f (t )e dt ? F (s)定义： F (s) ?????f (t )e dt? st拉普拉斯正变换对 f(t)e-?t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯反变换1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s)e ds ? 2?j ? ? j?拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示：F ( s) ? L[ f (t )]f (t ) ? L?1[ F (s)]L f (t ) ? ?? F ( s)物理意义：信号f(t)可分解成复指数est的线性组合F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换F ( s) ? ? f (t )e0? ? ? stdt1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s)e ds ? 2?j ? ? j?关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。单边拉普拉斯变换存在的条件充要条件为：????| f (t ) | e ??t dt ? C对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足t ??lim f (t )e ??t ? 0(???0)S平面j?左半平面 收 敛 区 ?0 ? 右半平面?&?0称收敛条件?0称绝对收敛坐标[例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域(1)u(t ) ? u(t ? ? )收敛域为全S平面(2)u (t )? ? 0? ? 3(3)e u(t )3t(4)t nu(t )? ? 0不存在?(5)t , ett2分析：求收敛域即找出满足 ? | f (t ) | e ??t dt ? C??或 lim f (t )e ??t ? 0t ??的?取值范围。三、 常用信号的拉普拉斯变换（1）指数型函数e? t u(t)1 L[e u (t )] ? ? ? e e dt ? 0 s ?? 1 ? ?t 同理： e u (t ) ? s ???t??t ? st? ? ?? ? ??? ? 0 ? ? 0e ej?0tu (t ) ? u (t ) ?1 s ? j?0 1 s ? (? 0 ? j?0 )(? 0 ? j?0 )t正弦信号?e cos?0t u (t ) ? u (t ) 2 1 1 1 s ? ( ? )? 2 2 2 s ? j?0 s ? j?0 s ? ?0 ej?0t? j?0t? ? 0sin ?0t u(t ) ?ej?0t?e 2j? j?0tu(t )??0 1 1 1 ( ? )? 2 2 2 j s ? j?0 s ? j?0 s ? ?0? ? 0(2) 阶跃函数u(t)1 L[u (t )] ? lim L[e u (t )] ? ? ? 0或 Re(s) ? 0 ? ?0 s?t(3) ? (t ), ? (n) (t )L[? (t )] ?'???0? (t )e dt? st' ? st? 1Re(s) ? ??d ? st (e ) t ? 0 ? s L[? (t )] ? ? ? ? (t )e dt ? ? 0 ds n ? d L[? ( n ) (t )] ? ? ? ? ( n ) (t )e ? st dt ? (?1) n n (e ? st ) ? s n t ?0 0 ds?(4) t的正幂函数t n,n为正整数n t n n n ? st ? st ? L[t u (t )] ? ? ? (t )e dt ? ? (e ) 0? ? 0 s s n ? n ?1 ? st n n ?1 ? t e dt ? L [ t u (t )] ? ? 0 s s ???0?t n ?1e ? st dt根据以上推理,可得n n n ? 1 n?2 n ?1 L[t u (t )] ? L[t u (t )] ? ? L[t u (t )] s s s n n ?1 n ? 2 2 1 0 ? ? ? ? ? L[t u (t )] s s s s snt u (t ) ? ??n Ln! , Re( s ) ? 0 n ?1 se? ?tu (t )? ?? ? ??LLL1 s?? 1 s??Re( s ) ? ?? Re( s ) ? ?e u (t )?te? j?0tu (t ) ? ??1 s ? j?0 1 s ? j?0Re(s) ? 0ej?0tu (t )? ??LRe(s) ? 0cos?0 t u(t ) ? ??Ls 2 s 2 ? ?0Re(s) ? 0sin ?0 t u(t )? ??L ? ??L?0 2 2 s ? ?01 snRe(s) ? 0Re(s) ? -? Re(s) ? -?? (t )? ( n) (t )L ? ??u (t ) tu (t )? ??L L ? ??t u (t )n? ??L1 s 1 s2 n!Re( s) ? 0 Re(s) ? 0sn ?1Re(s) ? 0te??tu (t )? ??L1 (s ? ? ) 2Re(s) ? -?e?? 0tcos?0 t u(t ) ? ??Ls ??0 (s ? ? 0 )2 2 ? ?0Re(s) ? -? 0e?? 0tsin ?0 tu(t )? ??L?0(s ? ? 0 )222 ? ?0Re(s) ? -? 0t cos?0 tu (t )? ??L2 s ? ?0 2 2 (s 2 ? ?0 )Re(s) ? 0t sin ?0 tu(t )? ??L2?0 s (s2 2 2 ? ?0 )Re(s) ? 0四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系（1）当收敛域包含轴时，拉普拉斯变换和傅里叶 变换均存在。 F ( j? ) ? F ( s )s ? j?（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而 傅里叶变换不存在。（3）当收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换 和傅里叶变换均存在。F ( j?) ? F (s) s ? j? ? ? ? Kn? (? ? ?n )n[例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换e?3t u(t )解：时域信号e3t u(t )傅里叶变换 1 j? ? 3 不存在j? ? 2 ( j? ) ? 4cos 2t u(t )拉普拉斯变换 1 ? ? ?3 s ?3 1 ? ? 3 s ?3 s ? ?0 2 s ?4e?3t u(t ) e3t u(t )cos 2t u(t )?2[? (? ? 2) ? ? (? ? 2)][例] 由F(s)求F(j? )s ( s ? 4) 2? ? ?41 ( s 2 ? 9) sj? ? ( j? ? 4) 2? ? 0解： 1)收敛域??-4包含j? 轴F ( j? ) ? F ( s)s ? j?2）收敛域的收敛边界位于j? 轴F ( j?) ? F (s) s ? j? ? ? ? Kn? (? ? ?n )1 1 1 1 11 F ( s) ? ? ? ? 18 s ? j 3 18 s ? j3 9 s 1 ? ? F ( j? ) ? ? [? (? ? 3) ? ? (? ? 3)] ? ? (? ) 2 9 j? (9 ? ? ) 18n五、拉普拉斯变换的性质1、线性特性若L f1 (t ) ??? ?? F1 (s)Re(s) ? ?1 Re(s) ? ? 2f 2 (t ) ??? ?? F2 (s)L则L a1 f1 (t ) ? a2 f 2 (t ) ? ?? a1F1 (s) ? a2 F2 (s)收敛与Re(s) ? max( ?1, ? 2 )2、展缩特性 若 则L f (t ) ??? ?? F (s)Re(s) ? ? 0a?0为什么a&0,而在傅立叶变换中a是 没有限制的，1 f (at ) ? ?? F ( s / a ) aL因为：此为单边拉什变换，要求 有展缩，而不能有翻转Re(s) ? a? 03、时移特性若L f (t ) ??? ?? F (s)Re(s) ? ? 0? st 0 L f ( t ? t ) u ( t ? t ) ? ? ? ? ? e F (s) 则 0 0为什么t&0,t0 ? 0因为：此为单边拉什变换，Re(s) ? ? 0时移性质例：x(t ) ? ? ? (t ? nT） 求：X(s)n ?0?x(t ) ? ? (t） ? ? (t ? T） ? ? (t ? 2T） ?? 解：则：X(s) ? 1 ? e? sT ? e?2sT ? ?1 ? 1 - e ? sTROC : Re{s} ? 04、卷积特性L f1 (t ) ??? ?? F1 (s)Re(s) ? ?1 Re(s) ? ? 2f 2 (t ) ??? ?? F2 (s)LL f1 (t ) * f 2 (t ) ??? ?? F1 (s) F2 (s)Re(s) ? max( ?1, ? 2 )5、乘积特性f1 (t ) ??? ?? F1 (s)LRe(s) ? ?1 Re(s) ? ? 2f 2 (t ) ??? ?? F2 (s)LL1 f1 (t ) f 2 (t ) ??? ?? [ F1 ( s) * F2 ( s)] 2?jRe(s) ? ? 1 ? ? 2乘积性质两种特殊情况： 1. 指数加权性质 若 则L f (t ) ??? ?? F (s)Re(s) ? ? 0L e??t f (t ) ??? ?? F (s ? ? )? ? 0Re(s) ? ? 0 ? ?2.线性加权性质dF ( s ) ? tf (t ) ?? ? ?? dsLRe( s ) ? ? 06、微分特性L f (t ) ??? ?? F (s)Re(s) ? ? 0df (t ) L ? ?? sF ( s ) ? f (0 ? ) Re( s) ? ? 0 dt[证明]? df (t ) ? L? ? ? ? dt ?? st ? 0? ??0? ??df (t ) ? st e dt dt? f (t )e?? ? f (0 ) ? s ? f (t )e dt ? sF (s) ? f (0? )? st 0?0? ??f (t )(? se ? st )dt重复应用微分性质，求得：d 2 f (t ) L 2 ? ? ? ?? s F ( s ) ? sf ( 0 ) ? f ' ( 0 ) 2 dtd n f (t ) n n?1 ? n ?2 ? n?1 ? ? s F ( s ) ? s f ( 0 ) ? s f ' ( 0 ) ? ... ? f (0 ) n dt? s n F ( s) ?n ? r ?1 r ? s f ( 0 ) ? r ?0 n ?1若f(t)=0, t&0, 则有f r(0 ?) = 0，r=0,1,2,...d n f (t ) L n ? ? ? ? ? s F (s) n dt7、积分特性f (t ) ??? ?? F (s)LRe(s) ? ? 0?1F ( s) f L ?? ? ? f (? )d? ? s ??若f ?1(0?)， 则有t(0 ? ) sRe(s) ? max( ?0,0)F (s) f (? ) d? ? ?? ? s ?0Lt[证明]L????tf (? )d?? ? L? ?0?f (? )d???? ? L? ?tf (? )d??其中， 右边第一项L?0?0???? f (? )d? ? ?f?1(0 ? ) s第二项按部分分式，得L?0??tf (? )d?? st?? ? ????0?tf (? )d? ?e ? st dt?0?? e ? ?? s ? ?0?t?? 1 f (? )d? ? ? s ? ? 0??0??F (s) f (t )e dt ? s? st8、初值定理和终值定理若t&0，f(t)=0且在t=0不包括任何冲激或高阶奇异函数，则L f (t ) ??? ?? F (s)Re(s) ? ? 0limt ?0 ?f (t ) ? f (0 ? ) ? lim sF ( s )s ??lim t ??f (t ) ? f (?) ? lims?0sF(s)的收敛域 一定要包含jω sF (s) 轴初值定理所得到的初值都是x(t)在t=0+时刻的值， 而不是在t=0或t=0-时刻的值。例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u(t)。求输 出电压vR(t)的初值vR(0)和终值vR(∞) 。C + u(t) _ R +vR(t)解：RC VR ( s ) ? RCs ? 1? v (0 sVR ( s) ? 1 利用初值定理： R ) ? lim s ??利用终值定理： vR (?) ? lim sVR ( s) ? 0s ?0heyanling@swust.edu.cn34说明：当电路较为复杂时，初值与终值定理 的方便之处将显得突出，因为它不需要做逆 变换，即可求出原函数的初值和终值。对于某些反馈系统的研究，例如锁相环路系 统的稳定性分析，就是这样。heyanling@swust.edu.cn35六、拉普拉斯反变换――部分分式展开法1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s ) e ds ? 2?j ? ? j?计算拉普拉斯反变换方法： 1. 利用复变函数中的留数定理2. 采用部分分式展开法[例] 采用部分分式展开法求下列的反变换s ? 2 (1) F ( s ) ? 3 s ? 4 s 2 ? 3ss?2 (2) F ( s) ? s ( s ? 1)3s 3 ? 2s ? 4 (3) F ( s) ? 2 s ? 4s ? 2解：s ? 2 (1) F ( s ) ? 3 s ? 4 s 2 ? 3sF(s)为有理真分式，极点为一阶极点。k3 k1 k2 s?2 s ?2 ? ? ? F ( s) ? 3 ? 2 s s ?1 s ?3 s ? 4s ? 3s s( s ? 1)(s ? 3)s ?2 2 k1 ? ( s) F ( s) s ? 0 ? s ?0 ? ( s ? 1)(s ? 3) 3 s?2 1 k2 ? ( s ? 1) F ( s) s ??1 ? s ? ?1 ? ? s( s ? 3) 2 s?2 1 k3 ? ( s ? 3) F ( s) s ? ?3 ? s ? ?3 ? ? s( s ? 1) 62 1 ?t 1 ? 3t f (t ) ? u (t ) ? e u (t ) ? e u (t ) 3 2 63 2 ?t s?2 ?t ?t ? (?2 ? 2e ? 2te ? t e )u (t ) (2) F ( s) ? 3 2 s ( s ? 1)解：k3 k1 k2 k4 F ( s) ? ? ? ? 2 s ( s ? 1) ( s ? 1) ( s ? 1)3 k1 ? sF ( s) s ? 03s?2 ? ( s ? 1)3s ?0? ?2s ?2 k 4 ? ( s ? 1) F ( s) s ? ?1 ? s ? ?1 ? 3 s d ( s ? 1)3 F ( s) s ?2 ' k3 ? ) s ? ?1 ? 2 s ? ?1 ? ( ds sd 2 ( s ? 1)3 F ( s) k2 ? ds2s ? ?1s ? 2 '' ? ( ) ss ? ?1? 2解：s 3 ? 2s ? 4 (3) F ( s) ? 2 s ? 4s ? 2F(s)为有理假分式,将F(s)化为有理真分式20 s ? 12 F ( s) ? s ? 4 ? 2 s ? 4s ? 2 20 s ? 12 f (t ) ? ? (t ) ? 4? (t ) ? L [ 2 ] s ? 4s ? 2' ?1f (t ) ? ? ' (t ) ? 4? (t ) ? 20.6e?4.45t u(t ) ? 0.6e0.45t u(t )归纳：bm s m ? bm ?1s m ?1 ? ? ? b1s ? b0 N ( s) F ( s) ? ? D(s) s n ? an ?1s n ?1 ? ? ? a1s ? a0(1) F(s)为有理真分式( m & n)，极点为一阶极点N ( s) N ( s) F ( s) ? ? D( s ) ( s ? p1 )(s ? p2 ) ? ( s ? pn )kn k1 k2 F ( s) ? ? ??? s ? p1 s ? p2 s ? pnk i ? ( s ? pi ) F ( s) s ? pi i ? 1,2,?, nf (t ) ? (k1e p1t ? k2e p2t ? ? ? kne pnt )u(t )(2) F(s)为有理真分式( m & n)，极点为r重阶极点N ( s) N ( s) F ( s) ? ? D( s ) ( s ? p1 ) r ( s ? pr ?1 ) ? ( s ? pn )? kn k1 k2 kr kr ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? s ? p1 ( s ? p1 ) 2 ( s ? p1 ) r s ? pr ?1 s ? pn1 d r? j r kj ? [( s ? p ) 1 F ( s)] r? j (r ? j )! dsk i ? ( s ? pi ) F ( s )s ? pij ? 1,2,?, ri ? r ? 1, r ? 2,?, n(3) F(s)为有理假分式( m ? n )N ( s) N1 ( s) m?n F ( s) ? ? B0 ? B1s ? ? ? Bm ? n s ? D( s ) D( s )N1 ( s) D( s ) 为真分式，根据极点情况按(1)或(2)展开。L B0 ??? ?? B0? (t )L B1s ??? ?? B1? '(t )L Bm ? n s ??? ?? Bm ? n? ( m ? n)(t )[例] 求下列F(s)的反变换s2 ? 8 (1) F ( s) ? 2 ( s ? 4)(2) F ( s) ? 1 3s ( s ? 4)2 21?e (3) F (s) ? s(s 2 ? 4)?2 s解：s2 ? 8 (1) F ( s) ? ( s ? 4) 2? 8s ? 8 k1 k2 F ( s) ? 1 ? ? 1? ? 2 2 ( s ? 4) ( s ? 4) s?4k1 ? (s ? 4)2 F (s) s ? ?4 ? (?8s ? 8) s ? ?1 ? 24d k2 ? ( s ? 4) 2 F ( s) s ? ?4 ? (?8s ? 8) ' ? ?8 dsf (t ) ? ? (t ) ? 8te?4t u(t ) ? 24e?4t u(t )解： (2) F ( s) ?1 3s 2 ( s 2 ? 4)1 k1 k2 ? ( ? ) 3 q (q ? 4)令s2=q,1 则F ( s) ? 3q(q ? 4)q ?01 k1 ? q ? q(q ? 4)1 ? 4q ? ?41 k2 ? (q ? 4) ? q(q ? 4) 于是1 ? ? 41 1 1 F ( s) ? ( 2 ? ) 2 3 4s 4( s ? 4)1 1 f (t ) ? (t ? sin 2t )u (t ) 12 21 ? e ?2 s 解：(3) F (s) ? s(s 2 ? 4)1 先用部分分式求 F1 ( s) ? 的反变换 2 s( s ? 4) ? e ?2 s 再利用时移特性求 F2 ( s) ? 的反变换 2 s( s ? 4) k 2 s ? k3 1 k1 F 1( s) ? ? ? 2 2 s( s ? 4) s s ?41 k1 ? 41 k2 ? ? k3 ? 0 4 1 f1 (t ) ? (1 ? cos 2t )u (t ) 4 1 f 2 (t ) ? ? [1 ? cos 2(t ? 2)]u (t ? 2) 4k2, k3用待定 系数法求信号的复频域分析小结? 信号的复频域分析实质是将信号分解为 复指数信号的线性组合。 ? 信号的复频域分析使用的数学工具是拉 普拉斯变换。 ? 利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换 的性质可对任意信号进行复频域分析。 ? 复频域分析主要用于线性系统的分析。连续系统响应的复频域分析? 微分方程描述系统的S域分析 ? 电路的S域模型微分方程描述系统的s域分析解微分方程时域差分方程拉 氏 变 换时域响应y(t)拉 氏 反 变 换s域代数方程解代数方程s域响应Y(s)二阶系统响应的S域求解d y dy d f df ? a1 ? a2 y (t ) ? b0 ? b1 ? b2 f (t ) 2 2 dt dt dt dt已知 f (t)，y(0?)，y’ (0?) ，求y(t)。 求解步骤：2 2(1) 经拉氏变换将域微分方程变换为s域代数方程(2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s)(3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式y”(t)a1y’(t)a 2 y ( t)[s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y' (0? )] ? a1[sY (s) ? y(0? )] ? a 2Y ( s) ? b0 s 2 F (s) ? b1sF (s) ? b2 F (s)b0 f & (t ) ? b1 f ' (t ) ? b2 f (t )sy (0? ) ? y' (0? ) ? a1 y(0? ) b0 s 2 ? b1s ? b2 Y ( s) ? ? 2 F ( s) 2 s ? a1s ? a2 s ? a1s ? a2Yx(s) Yf (s)y(t ) ? y f (t ) ? yx (t ) ? L?1{Yx (s) ? Yf (s)}例 1：系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f’(t)+8f(t)激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0?)=3， y’(0-)=2， 求响应y(t)。解 ：对微分方程取拉氏变换可得s 2Y (s) ? sy(0? ) ? 5[sY (s) ? y(0? )] ? 6Y (s) ? 2sF (s) ? 8F (s)2s ? 8 (s ? 5) y(0? ) ? y' (0? ) Y ( s) ? 2 F ( s) ? s ? 5s ? 6 (s 2 ? 5s ? 6)? Yf (s) ? Yx (s)3s ? 17 11 8 Yx ( s) ? 2 ? ? s ? 5s ? 6 s?2 s?3yx (t ) ? L {Yx (s)} ? (11e?1?2t? 8e )u(t )?3t2s ? 8 1 2s ? 8 1 Y f ( s) ? 2 ? ? ? s ? 5s ? 6 s ? 1 (s ? 2)(s ? 3) s ? 1 3 4 1 ? ? ? s ? 1 s ? 2 (s ? 3)y f (t ) ? L?1{Y f (s)} ? (3e ?t ? 4e ?2t ? e ?3t ) ? u(t )y(t ) ? y f (t ) ? yx (t ) ? (3e ? 7e?t ?2t? 7e )u(t )?3t电路的s域模型时域? R (t ) ? RiR (t )diL (t ) ? L (t ) ? L dt 1 ? c (t ) ? c复频域VR (s) ? RIR (s) VL (s) ? sLI L (s) ? LiL (0)1 1 Vc ( s) ? I c ( s) ? Vc (0 ? ) sc c?t??ic (? )d?R、L、C串联形式的s域模型IR(s) ?RIL(s)sLLiL (0? ) ? ?VR(s)??VL(s)?IC(s) ?1 sC1 vc (0? ) s ? ?VC(s)?[例2]图示电路初始状态为vc(0-)=-E, 求电容两端电压 vc(t).R R ? Eu(t) ? i(t) C ? vC(t) ?E s? 1/sCI ( s)? ? ? E /s ? VC(s) ??解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流(R ?1 E E ) I (s) ? ? sC s s电容电压为1 s( R ? ) sC I (s) E 1 2 VC ( s ) ? ? ? E( ? ) 1 sC s s s? RC 1I ( s) ?2Evc (t ) ? E(1 ? 2e?RCt),t ? 0系统函数H(s)与系统特性? 系统函数H(s)系统函数的定义 H(s)与h(t)的关系 s域求零状态响应 求H(s)的方法? 零极点与系统时域特性 ? 零极点与系统频响特性 ? 连续系统的稳定性一、系统函数H(s)(1)定义：系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式 与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。H ( s) ? L[ y f (t )] L[ f (t )] ? Y f ( s) F ( s)(2) H(s)与h(t)的关系：?(t)h ( t)L[ y f (t )]yf(t)= ?(t)*h(t) ? h(t )L[h(t )] H ( s) ? ? ? L[h(t )] L[ f (t )] 1H ( s) ? L[h(t )]h(t ) ? L?1[ H (s)]一、系统函数H(s)(3)求零状态响应： f( t) h ( t) H(s) F(s)yf(t)=f(t)*h(t) Yf(s)=F(s)H(s)(4)求H(s)的方法：①由系统的冲激响应求解：H(s)=L[h(t)]②由定义式H ( s) ?L[ y f (t )] L[ f (t )]③由系统的微分方程写出H(s)二、零极点与时域特性? 零极点分布图bm s m ? bm ?1s m ?1 ? ? ? b1s ? b0 H ( s) ? an s n ? an ?1s n ?1 ? ? ? a1s ? a0( s ? r1 )(s ? r2 ) ? ( s ? rm ) ? bm ( s ? s1 )(s ? s2 ) ? ( s ? sn )零点极点?H(s)与h(t) 的关系.1)位于? 轴的单极点1j? e?t u(t) u(t)1 s ?1?11?0?1 s?1?1 s ?11et u(t)3j?sin(t) u(t)1 ( s ? 1 ? j )(s ? 1 ? j )× ×1 ( s ? j )(s ? j )1×sin(t) e-t u(t) ?1×1 ( s ? 1 ? j )(s ? 1 ? j )01× ×? sin(t) et u(t)?1三、零极点与系统频响特性 频响特性是指系统在正弦信号激励之下 稳态响应随信号频率的变化情况。系统稳定时，令H(s)中 s =j? ，则得系统频响特性H ( j ? ) ? H ( s ) s ? j?H ( j?) ? H ( j?) ? (?)幅频特性 相频特性系统频响特性对于零极增益表示的系统函数H ( s) ? K? (s ? z )jm? (s ? p )i i ?1j ?1 n当系统稳定时，令s=j?，则得H ( j? ) ? K? ( j? ? z )jm? ( j? ? p )i i ?1j ?1 n?5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频 响特性 ? 系统的频率特性 H（jω ）,其模 |H(jω)| 是 随 ω 变化的函数称为系统的幅频特性 , 相 角 φ （ ω ）称为系统的相频特性。如前所 述 , 系统在频率为 ω0 的正弦信号激励下的 稳态响应仍为同频率的正弦信号 , 但幅度 乘以|H(jω0)|,相位附加φ（ω0）,|H(jω0)|和 φ（ ω0 ）分别是H（jω）和φ（ω）在ω0 点之值。?当正弦激励信号的频率ω改变时,稳态响 应的幅度和相位将分别随着H（jω） φ （ ω ）变化 ,H （ jω ）反映了系统在正弦 激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又 称系统的频响特性。 ? 若 H （ s ）的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 平面上令 s 沿虚轴变化 , 则 有 H(s)|s=jω=H(jω), 即为系统的频响特性。 根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况 可以绘制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 φ(ω) 曲线 , 下面介 绍这种方法。 由式（５D78）,系统函 数Ｈ（s）的表示式为H ( s) ? H 0? ?i ?1 m j ?1 nm(s ? z j ) (s ? p j ) ( j? ? z j ) ( j? ? p j )H ( j? ) ? H 0? ?i ?1 j ?1 n(5D84)?图５ . ２０中画出了由零点 zj 和极点 pi 与 虚轴上某点jω连接构成的零点矢量jω-zj和 极点矢量 jω-pi 。图中Ｎ j 、 Mi 分别表示矢 量的模,θj、 φi分别表示矢量的相角,即j? Mi pi j??iNj zjs平面?j0?图５.２０ 零点矢量和极 点矢量j? ? z j ? N j e j? ? pi ? M i ej? j j? jH 0 N 0 N1 ??? N m j [(?1 ??2 ??????m )?(?1 ?? 2 ?????? m )] H ( j? ) ? e M 0 M 1 ??? M m ? H ( j? ) e j? (? ) H ( j? ) ? H 0m(5D86)? ?i ?1 j ?1 nmNj(5D87)Nim? (? ) ? ? ? j ? ? ? ij ?1 i ?1(5D88)?当ω自-∞沿虚轴运动并趋于+∞时,各零 点矢量和极点矢量的模和相角都随之改 变,于是得出系统的幅频特性和相频特性 曲线。物理可实现系统的频响特性具有 幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点, 因此绘制频响曲线时仅给出 ω 从 0→∞ 即 可。为了便于理解,在应用这种方法作频 响特性之前 , 我们举例说明如何由 s 平面 零极点分布用几何法确定频响特性曲线 上一个特定点的数值。?例５D３５ 已知系统函数1 H ( s) ? 3 s ? 2s2 ? 2s ? 1试求ω=1时的H(j1)和 φ（1）。 解将Ｈ（s）的分母多项式进行因式分解,得1 H ( s) ? ( s ? 1)( s 2 ? s ? 1) 1 3 p1 ? 1, p2,3 ? ? ? j 2 2?在图 5.21 中分别给出各极点与 j1 点 构成的各极点矢量,由几何关系求得M2?2M1 －1 M3 0j? j1 3 j 2?1??3?j3 2图5.21 例5D35图M 1 ? 2 ? 1.414?1 ? 45o1 3 2 M 2 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? 0.518 2 2 3 1? 2 ] ? 15o ? 2 ? arctan[ 1 2 1 3 2 M 3 ? ( )2 ? (1 ? ) ? 1.932 2 2 3 1? 2 ] ? 75o ? 3 ? arctan[ 1 2?由式(5D87)和(5D88)可得1 2 H ( j1) ? ? M 1M 2 M 3 2?1 ? ?(?1 ? ? 2 ? ? 3 ) ? ?13.5o例5D36 RC高通滤波器如图5.22所示,试分析其频响 特性。 解 RC高通滤波器的系统函数为U 2 ( s) R s H ( s) ? ? ? 1 U1 ( s) R ? 1 s? sC RCj?＋ u 1 (t) －C R＋ u 2 (t) － p1M1N1?1? 1 RCz1 0?1 ?图 5.22 图例 5D36图5.23 从零、极点分布确定频 响特性H ( j? ) ? H ( s )s ? j??j? 1 j? ? RCj? ? z1 ? N1e j?1零点矢量为j?1 j ? ? p ? M e ,极点矢量为 ,于是 1 1N1 j (?1 ??1 ) H ( j? ) ? e ? H ( j? ) e j? (? ) M1 N1 H ( j? ) ? , ? (? ) ? ?1 ? ?1 M1H (j ? )1 9 0°? (? )2 24 5°01 RC?01 RC?图5.24 RC高通滤波器的频响特性?例5D37 图5.25所示电路中,若输入 激励为电流 i(t), 输出响应为电压 u(t) 。试 分析其频响特性。 1U ( s ) sC H ( s) ? ? I ( s ) R ? sL ? 1 sC R s ? 1 L ? C s2 ? R s ? 1 L LC零点( R ? sL)R ?0 Z1 ? ? ? ? L ?＋ u (t ) －i (t ) R C L图5.25 例5-37图R R 1 1 1 2 p1,2 ? ? ? ( ) ? ? ?0 [? ? ( ) ? 1] 2 2 L LC 2? 2? 1 ?0 L ?0 ? ,? ? R LC当R很小（实际是电感L的内阻）,θ 1时,极点1 1 2 ?0 ?0 p1,2 ? ?0 [ ? ? 1? ( ) ? ?? ? j?0 2? 2? 2? 2?j? p1 j???z1?0 ?? ? 0 2?0?p2－j??图5.26 零、极点分布H (j ? )1 RCR 0?0?? (? )0?0?－9 0°图5.27 例5D37的频响特性?一般情况下,可以认为,若系统函数 有 一 对 非 常 靠 近 虚 轴 的 共 轭 极 点 p1,2=σi±jωi,(σi&&ωi), 则在 ω=ωi 附近处 , 幅频特 性出现峰值 , 相频特性迅速减小。若系统 函数有一对非常靠近虚轴的共轭零点 z1,2=-σj±jωj,(σj ωj), 则在 ω=ωj 附近处 , 幅 频特性出现谷值,相频特性迅速上升。j? p1?1M1 N1z1?10 M2 p2 N2?2?2z2图5.28 全通系统的零极点 分布复数a和b及a-b的向量表示a a-b b bj?a |a-b|j???0?0系统函数的向量表示j?Dipij??i0( j? ? z j ) ? N j e?j? jNj?jzj( j? ? pi ) ? Di e j?i1 ，求系统的频响特性。 [例]已知 H ( s ) ? s ?1 1 解 H ( j? ) ? H ( s) s ? j? ? j? ? 1 1 H ( j? ) ? ?0 ? ?1 ?( j?) ??0 ? 0 ??0 ? 0 D0 ?1 ? 1 1 ? ( j ? ) ? 0 ? ? ? ? tg 1 ? ? 45 H ( j? ) ? ?1 ? ? ? ?1 1 D1 2 1 ?( j?) ??0 ? 0 ??? ? ?90? H ( j? ) ? ?? ? ?0 D?j?j? aH ( j? )1 0.8 0.60? ( j? )510?Db D1 j10.4 0.2? (1)-1 0?0 1510?-90o三、H(s)与系统的因果稳定性 一、因果性一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。 对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就 等效于ROC位于最右边极点的右边的右半平面。例 有一系统，其单位冲激响应为h(t ) ? e u(t )其系统函数和ROC为：?t1 H (s) ? , Re{ s} ? ?1 s ?1系统函数是有理的，ROC是右半平面，所以系统是因果的。例 考虑下面系统函数es H ( s) ? , Re{s} ? ?1 s ?1请问该系统是因果的吗？例 有一系统，其单位冲激响应为h(t ) ? e其系统函数和ROC为：? ?|t | ? st ? ?t?|t |H ( s) ? ? e e dt ? ? e u (t )e dt ? ? et u ( ?t )e ? st dt? st ?? ?? ???1 1 ?2 ? ? ? 2 , s ?1 s ?1 s ?1? 1 ? Re{s} ? 1ROC 不是右半平面，不是因果的二、稳定性 定理一：当且仅当系统函数H(s)的ROC包括jω轴[即： Re{s}=0]时，一个LTI系统就是稳定的。系统 稳定h(t)绝 对可 积H(jω)收 敛Im s-planexRe s=j?? | h(t ) |dt ? ?例 ：考虑一LTI系统，系统函数 s ?1 H ( s) ? ( s ? 1)( s ? 2) s-planeImIms-plane因果、 不稳定 系统Re-1xx2Re-1xx2非因果、 稳定系 统-1s=j? s-plane Ims=j? Im Res-planexx2-1xx反因果、 不稳定系 统Re2s=j?s=j?定理二：一个具有有理系统函数H(s)的因果LTI系统，当且仅当系统函数H(s)的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。Im s-planexxRe s=j?例： h(t ) ? (e?t ? e ?2t )u (t )1 H ( s) ? , ( s ? 1)( s ? 2)Re{s} ? ?1Im s-plane x x -2 -1 Res=j?收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。例：已知一因果LTI系统的系统函数如下s ?1 H (s) ? 2 s ? 2s ? 2问：讨论该系统的稳定性j1 jIm{s}解：该系统的零极点图为：-1 -j1Re{s} 1由于是因果系统，则其收敛域为：Re{ s} ? 1收敛域不包括虚轴，故该系统是不稳定的。四、H(s)与系统的稳定性连续时间LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是????h(? ) d? ? S ? ?因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO)的充要 条件是系统函数H(s)的全部极点位于的 左半s平面。[例]判断下述系统是否稳定。s?3 H1 ( s ) ? ( s ? 1)(s ? 2)s H 2 ( s) ? 2 s ? ? 02解: （1）极点为s= -1和s= ?2，都在s左半平面。若激励为有界输入u(t)，则其输出为1/ 2 ? 2 1/ 2 s?3 ? ? ? Y1 ( s) ? F ( s)1 H ( s) ? s s ?1 s ? 2 s( s ? 1)(s ? 2) 1 1 ? 2t t y1 (t ) ? L [Y1 (s)] ? ( ? 2e ? e )u (t ) 2 2?1显然输出也有界，所以系统稳定。（2）极点为±j?0，是虚轴上的一对共轭极点。若激励为有界输入sin(?0 t )u(t)，则其输出为?0 ?0 s s Y2 (s) ? F (s) H 2 (s) ? 2 ? 2 2 2 2 2 (s ? ?0 ) (s ? ?0 ) (s ? ?0 ) 2y2 (t ) ? L [Y2 (s)] ??11 t sin(?0t )u (t ) 2显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。连续时间系统的模拟? 系统的基本联接? ? ? ? ? ? 系统的级联 系统的并联 反馈环路 直接型结构 级联型结构 并联型结构? 连续系统的模拟框图系统的基本联接1)系统的级联X ( s)F (s)H1(s)H2(s)Y (s)F (s)H1(s)H2(s)Y (s)Y (s) ? H 2 (s) X (s) ? H 2 (s) H1 (s) F (s)2)系统的并联H1(s)F (s)Y ( s)H2(s)F (s)H1(s)+H2(s)Y ( s)Y (s) ? H1 (s) X (s) ? H 2 (s) X (s) ? [ H1 (s) ? H 2 (s)]F (s)3)反馈环路F (s) E (s)K (s)Y ( s)??(s)Y ( s) ? E ( s) K ( s)E(s) ? F (s) ? ? (s)Y (s)K ( s) Y ( s) ? F ( s) 1 ? ? ( s) K ( s) K ( s) H ( s) ? 1 ? ? ( s) K ( s)连续系统的模拟框图N阶LTI连续时间系统的系统函数为bm s m ? bm?1s m?1 ? ? ? b1s ? b0 H ( s) ? n n ?1 s ? an?1s ? ? ? a1s ? a0设m=n, 并将H(s)看成两个子系统的级联, 即H ( s) ?1?i ?0nai si j ?0.? b j s , an ? 1jnH2(s)H1(s)1、直接型结构H1 ( s) ? 1 X ( s) ? F ( s)?i ?0nai s ijH 2 ( s) ? ?j ?0nY ( s) bjs ? X ( s)这两个子系统的微分方程为x( n) (t ) ? an?1x( n?1) (t ) ? ?? a1x' (t ) ? a0 x(t ) ? f (t ) bn x(n) (t ) ? bn?1x(n?1) (t ) ? ?? b1x' (t ) ? b0 x(t ) ? y(t )模电中的运放器用 加法器、乘法器和积分器 实现这两个方程即 得系统的直接型模拟方框图。+ + + +b0b1?+y(t )b2bn ?1f (t )+?_ __?_s ?1?a1s ?1?a2?s ?1?bnan ?1 an设m=nbn ? bn?1 s ?1 ? ? ? b1 s ? ( n?1) ? b0 s ? n H ( s) ? a n ? a n ?1 s ?1 ? ? ? a 1 s ? ( n ? 1 ) ? a 0 s ? nb0b1+ + + + +?y(t )b2bn ?1f (t )+?_ __?_s ?1?a1s ?1?a2?s ?1?bnan ?1 an设m=n2、级联型结构将系统函数分解为一阶或二阶因子相乘的形式, 即H(s)=H1(s)H2(s)…..Hn(s)画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。 一般，实数极点对应实系数一阶有理分式， 共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。3、并联型结构将系统函数分解为一阶或二阶因子相加的形式H(s)=H1(s)+H2(s)+….+Hn(s)画出每个子系统直接型模拟流图, 然后将各 子系统并联。 一般，实数极点对应实系数一阶有理分式， 共轭复数极点对应实系数二阶有理分式。5s ? 5 例：画出系统的模拟方框框图 H ( s) ? 3 s ? 7 s 2 ? 10 s解: 直接型框图5s ? 5s H ( s) ? 1 ? 7s ?1 ? 10s ?25?2?3F(s)?s?1s?1s?15?Y(s)710(b)级联式5s ? 5 1 1 H ( s) ? ? ? s s?2 s?5?1 ?1 s s H ( s) ? (5 ? 5s ?1 ) ? ? ?2 1 ? 2s 1 ? 5s ?11F(s)5-1 Ss ?1??-1 Ss ?1?s?1Y(s)25(c)并联式1 5 4 H ( s) ? ? ? 2 s 6 s ? 12 3 s ? 15s ?1 ( 5 / 6 ) s ?1 ( 4 / 3 ) s ?1 H ( s) ? ? ? ?1 2 1 ? 2s 1 ? 5 s ?10.5S-1 s?1-1 Ss ?1F(s)5/6??Y(s)2?s?1 54/3二、微分方程、有理系统函数、因果LTI系统 的方框图表示1 H (s) ? s?3 dy (t ) ? 3 y (t ) ? x(t ) dt2 系统的信号流图表示 对于比较大的系统，如果用方框图的方式就比较麻烦，而 由上面的讨论可知，一个系统的特性完全由其子系统的系 统函数以及各个子系统之间的连接方式所决定。因此可以 将方框图简化，用系统的信号流图来表示。b1 X(s) a0 1 x1 a0 1/s x2 b0 1 Y(s)信号流图中的一些术语： 节点：表示系统中变量或信号的点：X(s)、Y(s)、x2 源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号； 阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号； 支路：连接两个节点之间的定向线段，支路的增益即为其转 移函数。 转移函数：两个节点之间的增益：b0、b1通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（注意：不允许有相反方向支路存在）前向通路：从源点到阱点方向的通路上，通过任何节点不 多余一次的全部路径； 闭合通路：通路的终点为通路的起点，且与任何其它节点 相交不多于一次，又称为环路；前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；不接触环路：两环路之间无任何公共节点；信号流图的性质： 1） 信号只能沿着支路上的箭头方向通过； 2） 节点可以将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路； 3） 具有输入和输出支路的混合节点，可通过增加一个具有单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理； 4） 给定的系统，其流图形式不唯一； 5） 流图转置后，其转移函数保持不变；3：信号流图的简化梅逊公式：1 H (s) ? ? g k ? k ? k其中： △称为流图的特征行列式： k：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号；－（每三个互不接触环路增益乘积之和）＋?? ? 1 ? (所有不同环路的增益之和）＋（每两个互不接触环路增益乘积之和）gk：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益； △k：称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子,是除去与第 k条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式例：X(s) a0c a b 1 Y(s)ab H (s) ? 1 ? bcX(s) a0c d Y(s) hab例：eg fg1?1 ? g 2 ? 2 abd(1 ? gf ) ? efh(1 ? bc) H ( s) ? ? 1 ? bc ? gf ? bcgf 1 ? bc ? gf ? bcgf例：有一因果系统的微分方程为：d 2 y (t ) dy(t ) d 2 f (t ) df (t ) ? ?1 ? ? 0 y (t ) ? ? ?1 ? ? 0 f (t ) 2 2 dt dt dt dt求（1）系统函数H(s) （2）画出信流图。s 2 ? ?1 s ? ? 0 H ( s) ? 2 ? s ? ?1 s ? ? 01? 1??1 ?1s s? ??0 ?0s2 s21 X(s) a0 1 -α1β 1/s11/sβ01Y(s)-α0例. 一个LTI系统，其系统函数为：当x(t)=e-tu(t)时，y(t)=(e-t-e-2t)u(t)1.求出具有这一特性的系统函数H(s)。做零极点图、标收敛 域，并判定因果性、稳定性。 2.求该系统的冲击响应h(t)。3.求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）4.画出该系统的信号流程图与方框图。5.若输入x(t)＝e2t，求输出y(t)。1 ROC : Re{ s} ? ?1 解： （1） X ( s ) ? s ?1 1 1 Y ( s) ? ? ROC : Re{ s} ? ?1 s ?1 s ? 2 Y ( s) 1 H ( s) ? ? ROC : Re{s} ? ?2 -2 X ( s) s ? 2jIm{s}Re{s}因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数 为有理函数，故其是因果的； 稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（jω轴），故是稳定的。(2) 单位冲激响应： h(t ) ? e?2t u(t ) (3) 微分方程：y' (t ) ? 2 y(t ) ? x(t ) 11 s H ( s ) ? ? （4）方框图与信流图： s ? 2 1? 2 X(s) Y(s) sa0 ―1/sX(s)21/sY(s)a0（5）若输入信号为e2t，则响应为：2t-21 2t y (t ) ? H (2)e ? e 4例：一因果的LTI系统的系统函数，s ?1 H ( s) ? ( s ? 1)(s ? 2)试求： （1）画出该系统的零极点图、以及ROC，并判断其 稳定性； （2）求其单位冲激响应h(t)。 （3）求出描述该系统的微分方程； （4）画出该系统的方框图； （5）若输入信号是e3t,求响应y(t)
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