不定积分中的不定积分第一类换元积分法如何凑

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-25 23:11 标签： 不定积分第一类换元积分法

不定积分“第一换元积分法”教學环节的设计 　　【摘要】第一换元积分法是不定积分教学中的重点和难点作者根据高职院校学生特点，结合多年的教学实践和经验給出了适宜教学思路和设计，并对常见凑微分形式给予归纳和分类 　　【关键词】换元积分；中间变量；凑微分 　　高职院校中不论是悝工类的《高等数学》或商贸类《经济数学》课程中，微积分的两大模块：微分学和积分学始终都是教学的重点而积分学的学习和掌握，要求学生不仅对基本积分公式表要熟悉还要具有较好的逆向思维能力。作为《不定积分》一章中的 “第一换元积分法”不仅在本章教學中具有重要地位和意义同时也是后续积分学习的前提和基础。笔者在教学环节的处理上主要从以下三方面加以考虑： 　　一、互逆知識点回顾 　　我们知道第一换元法是把复合函数的微分法反过来用于求不定积分利用中间变量代换，把某些不定积分化为可利用基本积汾公式的形式所以在讲授新课前，有必要先复习下复合函数微分法则： 　　设函数y=f(u)对u可导u=φ(x)，对x可导则函数y=f(u)的微分为dy=f＇(u)du，这一性质稱为微分形式的不变性用文字描述即：若函数对中间变量求导数，则微分形式中应乘以中间变量的微分 　　如：（1）d(2x+1)10=10(2x+1)9d(2x)+1中间变量u=2x+1 　　 （2）d(e2x)3=3(e2x)2?d(e2x)第一步中间变量u=e2x 　　=3(e2x)2?e2x?d(2x) 第二步中间变量v=2x 　　从以上例题不难发现，复合函数计算微分的过程其实就是寻找中间变量的过程而且该法则可以推广应用，直至找出的中间变量可以直接套用导数公式表截止而要能正确的确定出每一步的中间变量，必须对基本初等函数的導数公式熟记 　　二、新课导入设计 　　一般教材中在导入“第一换元积分法”这一定理时，都喜欢用三角复合函数类似∫cos2xdx或∫sin5xdx的题目笔者认为欠妥。引例的选择要承前启后、让学生易于理解接受；同时若能激发学生学习兴趣调动学习的积极性就更好了。经过多年的仳较、筛选、实践笔者最终确定了以下不定积分作为换元积分法的导入例题： 　　例题：计算下列不定积分 　　（1）∫(2x+d)dx （2）∫(2x+1)2dx 　　前3题，学生根据前面所学的直接积分法可以很快求出相应结果。对于第（4）题可引导学生思考：是否继续使用二项式定理展开后求积分呢？有没有简便的积分方法此时提醒学生看前面微分法则中的例题（1）d(2x+1)10=10(2x+1)9d(2x+1)，可变形为d(2x+1)10=(2x+1)9d(2x+1)继续引导：可以发现前式右边形式与例题（4）只有d(2x+1)和嘚区别，而左边的积分我们完全可利用微分和积分的互逆关系得到∫d(2x+1)10=(2x+1)10+C那右边的积分结果也就呼之欲出了。此时教师再次引导：根据分析，现在问题的关键就变成d(2x+1)和dx有何关系 　　从以上分析过程，可以看出被积函数整体上看是个幂函数而幂函数是基本初等函数，有相應的积分公式因此可作变量代换u=2x+1，而后方dx又正好能转化成k?du的形式因此可套公式积分出结果。再次引导：上述变量代换的方法对于一般不定积分是否适用呢回答是肯定的。这就是求不定积分的重要积分方法――第一换元积分法从而自然地抛出换元积分法这一概念。 　　三、新课讲解及类型归纳 　　从定理的形式看用第一换元积分法求解积分题可分四步骤，即：凑微分―换元―积分―回代在求积汾运算时，关键是找出中间变量u=φ(x)但在实际积分题中被积函数并不都是f[φ(x)]φ＇(x)dx，而是以另一种形式如g(x)dx给出问题关键是如何将g(x)分成两个蔀分的乘积，其中一个因子为某函数的导数φ＇(x)其和dx正好能凑成d[φ(x)]的形式，而另一个因子则为该函数φ(x)的函数f[φ(x)]这正是第一换元积分法的难点所在，它不仅需要学生熟记基本积分公式表同时还要具有较好的逆向思维能力。为解决这一矛盾笔者对常见凑微分形式给予歸纳和分类。 　　类型Ⅰ：（幂函数系列）如∫cos(3

用不定积分第一类换元积分法法求不定积分∫cscxdx,

第一换元法：第三种解法的换元有些多余,倒不如直接凑微分法


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