1、反渐开线函数的综合解算法沈守范(南京理工大学 ,江苏 南京 210094)摘要 :本文综合运用台劳级数 、普通迭代和牛顿法 ,给出了符合精度要 求的解算反渐开线函数的简单公式 (包括原始初值公式和近似值精化公式) ,它们适用于 0 , / 2 的全区段 ,免除了 分段计算的烦恼 。关键词 :渐开线函数 ;迭代法 ;参数优化中图分类号 : t h1321413文献标识码 :b文章编号 :167125276 (2003) 02 20020203the synthetic resolve algorithm of inverse invol ute functionsh en sho u2f an(2、 nanjing u niversit y of science and technology ,j s nanjing 210014 ,c hina)abstract :in t his paper ,t he simplicit y fo r mulae (include o riginal initial value fo r mulae and advanced app ro xima2 tio n fo r mulae) will be p ut fo rward based o n synt heses utilizing taylo r p rogressio n , co mm3、o nness iteratio n and newto ni an met ho d. u sing t hese fo r mulae ,perso ns can solve t he inverse involute f unctio n i n w hole interval (0 ,/ 2) and o btain expect p recisio n wit ho ut t he t ro uble of subse ctio n calculatio n .key words :involute f unctio n ;iteratio n ;parameter op timix4、atio n在参考文献 1 中 ,作者阐明了解算反渐开线函数的 重 要 性 和 精 度 要 求 ( 误 差 不 超 过 1174 10 - 7) ,并 拟 定 出 解 算 的 具 体 方 法 和 一 系 列 公 式 。 但是 ,这些公式只分别适 用于 ( 0 ,/ 2) 中的某个限 定区段 (否则误差过大) ,这是不方便的 。本文旨在给出全区段适 用的简单公式 ,且满足精度要求 。11112普通迭代法普通迭代法简称迭代法 ,其计算格式为 := arctan (i + ) , i = 0 , 1 , 2 , ( 3)i +1求算反渐开线函数的本意在于 : 根据已知的 值 , 取定原始初值 0 (5、 即 i = 0 时的初值) , 再按计算格式反复运算计算误差为 :n 步后求得符合精度要求的解n 。1111求解反渐开线函数的基本原理迭代原理求算反渐开线函数的实质是求解下述非线 性( 4)n= n - 要求
n
1174 10 - 7 。可惜 ,上述两种“点迭 代”计算格式 式 (2) 和 (3) , 只会计算
i +1 - i
而不会计算
i +1 -
(这是点迭代法 的通病2 , 若用“区间迭代”法就可以解决了) 。为了判断精度 和对比分析 ,本文 假定已知真值 并按式 ( 6)“精 确”计算出 (一般计算器可达到 12 位有效数字) , 再计算格式 (2) 或6、 ( 3) 迭代 , 最后才有可能按式 ( 4) 估计精度 。故本文以 为基准进行阐 述 。n r k 法和迭代法各有优缺点 :前者对较小的 收敛得很快 ,而对大角度 则收敛得 很慢 ,公式稍 繁 ; 后 者 恰 好 相 反 , 即 较 小 时 收 敛 得 慢 , 较大时收敛得快 ,公式简单 。由此可见 ,应综合运用方程 :tan - = 常用的解算方法有 :11111牛顿2雷扶生2康托洛维奇法( 1)牛顿2雷扶生2康托洛维奇法 ( newto n2rap hso n2) 简称 n r k 法 ,其计 算格式为 :tani - i -, i = 0 , 1 , 2 , ( 2)i +1= i 7、-tan2i式中 : i 为初值 。该式即为文 1 中的式 (8) ,它是由inv = t na - 在i 处按台劳 ( taylo r) 公式展开并 略去高次项后得到的 。n r k 法和迭代法 , 以提高区间 0 , / 2 两端 ( 即小角度 区和大角度区) 的计算精度 。这是本文的一个 基本观点 。30=( 7) 101423+3333112原始初值 0 的确定原始初值 0 至关重要 ,必须认真确定 。显然 ,0=( 8)31 + 014 + 17 32433333105在零点展开的台劳公式是确定 0的有效工具3= tan - 在任意点处的台劳展式为 :。式 (6) 、(7) 和 (88、) 的计算精度是依次提高的 ,但由于它们都源于零点展开的台劳公式 ,故在 小角度区 精确些 ,而在大角度区的误差都相当大 。因此 ,上述 三式都不能适用于全区段 。为 了提高大角度区段的计算精度 ,不妨采用迭代公式 (3) ,从而得到 :3 = + 2 5 +17 7+ 62 9 +31531528351382 11 + ( 5)155925在上式中 ,若只保留一项 ,便可得 :3= arctan (3 + )( 9)03= arctan30= 3( 6)+ 0若分别取两项或三项并析出公因式 3 , 再将括号内的 以式 ( 6) 取代 0 , 便可得 :2013 + 01 27734450979、423( 10)3+ 0 = arctan( 11) 22013 + 0 12773445097423 + 0101373571019313式 ( 9) 、( 10 ) 和 ( 11 ) 均 可 用 于 0 , / 2 的 全 区段 ,其中 : 式 ( 10 ) 和 ( 11 ) 分母 前 的 常 数 分 别 为格式 ,解算反渐开线函数已不成问题 。如按最简 单的式 (9) 求得原始初值 ,再连续用 n r k 格式 ( 2) 反 算计算 ,前三步的最大误差分别为 :1) 1 = 1 - 30143和;式 (8) 中的常系数“17”和指数“4”分别用31053= 612954 10 - 3 (10、1 = 65) ; 2)2= 2 - =和取代 ,目的 在于使误差在全区域上进一步均匀化 。若记 n = n - , 则理论和实算都表明 :式(9) 的最大误差 0 = 511064 10 - 2 ( 出现在 =601801处) ;式 (10) 的最 大误差 0 = 81486 10 - 3 (出现在 = 70处) ;当取 = 5156 和 = 4 时 ,式 (11) 的最大误差
0
= 310308 10 - 4 ( 出现在 =82处 ,负偏差) 。111763 10 - 4 (2 = 70, 当 25或 8915时已符合 精 度 要 求) ; 3)= 3 - = 4 17993 3111、0 - 8 ( = 73, 已全部符合精度要求 。由上所述)3可知 :即使采用最差 的 式 ( 9) ,最多只要三步 n r k迭 代 就 足 够 了 。这 对 于 可 编 程 计 算 器 ( 如sha r p5002) 是没有困难的 。212简单迭代计算公式所谓“简单迭代计算”,就是计算次数 n = 1 的求算反渐开线函数的方法迭代计算法有了全区段适用的原始初值公式和迭代计 算2211一种 计 算 方 法 。为 此 , 必 须 选 用 精 度 较 高 的 式( 11) ,并且选取 = 5155 和 = 319 ,具体的计算公 式为 :3+ ( 12)0= arctan 2013 + 0 1212、773445097423 + 010762331915717113而后转接计算格式 (2) ,即 :在式 ( 12 ) 中 ,113 系 数 的 精 确 计 算 式 为 5155 3 3/105 。具体计算结果如附表所示 。tan0 - 0 -1= 0 -( 13)tan2021 m achi ne b ui l di n g & a utom at ion , a p r 2003 , ( 2) : 20222 , 42附表计算结果简单迭代公式 (12) 和 ( 13) 的优越性是明显的 ,既简便又实用 ,计算精度也有保障 。但应指出 : 该 公式所用的参数值 = 5155 和 = 319 13、仅为“半经 验”数据 ,尚未经过优化 (优 化后的效果会更好些) 。 这是一个带参数的二维无约束优化问题 ,可表为下 述极大值极小化 问题 :max由表可知 : 上述最简迭代计算的最大误差 1= 1 . 6755 10 - 7 ( 出现 在 1 = 87处) 。注意 :1) 由于精度要求极高 ,故在式 ( 12) 分母014中的常系 数 , 必 须 分 别 用 精 确 表 达 式 1/ 3 、 3 和3351553 计算 ;2) 由于 1 与真值 相差甚微 ,在 11052f (,;) = 0 ,/ 2 (1 - )( 14)中的有效数位 大都消失 ,表 中列出了仅有的全部有效数位 ( 0 的14、情况相仿) ; 3) 若读者欲核对计算 结果 ,可给定 ,再算出 , 而后按式 ( 12 ) 和 ( 13 ) 求得 0 和 1 等 。若直接置入 ,则必须精确到表 中给出的全部 12 位有效数 ( 以 = 40为例 ,应采 用 = 1 . 4096793 03 10 - 1 + 5 . 8 10 - 10 的办法 置入 ,否 则 误 差 1 = 1 - 将 与 表 值 31 786 10 - 9有较大出入) 。式中 : 为参数 , 设计变量 和见式 ( 11) ,1 的计算按式 (13) 。双重迭代计算公式若想进一步提高计算精度 ,可在式 ( 11) 的基础 上再作一次普通迭代 (称为“双重15、迭代”) ,并 且选取3 = 518 和 = 4,其具体计算公式为 :3+ 0= arctan arctan+ ( 15) 24013 + 012773445097423 + 0107966711912133(下转第 42 页)22 ht tp :/ zzhd. chinajournal. net . cn e2mail : zzhd chinajournal. net . cn 机械制造与自动化真值原 始 初 值近 似 值/ deg = tan - 0 / deg0 = 0 - 1 / deg1 = 1 - 100 . 00179405550 . 1745323985- 0 . 00000016、52670 .. 0000000000200 . 01490438390 . 3490572122- 0 . 00000863820 . 34906585060 . 0000000002250 . 02997534520 . 4363137652- 0 . 00001854780 . 43633231390 . 0000000009300 . 05375149360 . 5235677377- 0 . 00003103790 . 52359877780 . 0000000022350 . 08934230000 . 6108235641- 0 . 000041674117、0 . 61086524190 . 0000000037400 .. 6980882138- 0 . 00004348700 . 69813170460 . 0000000038450 . 21460183660 . 7853695087- 0 . 00002865470 . 78539816500 . 0000000016500 . 31908896660 . 87267310840 . 00000848240 . 87266462610 . 0000000001550 . 46821691810 . 95999857340 . 00006748480 . 959918、3109830 . 0000000097600 . 68485325641 . 04733548140 . 00013793021 . 04719759510 . 0000000439651 . 01004290671 .. 00019730741 .. 0000001016701 . 52574694311 . 22194393950 . 00021346311 . 22173061820 . 0000001418752 . 42305386861 . 30915295420 . 00015601521 . 30899703640 . 0019、00000974804 . 27501841801 . 39628751480 . 00002411321 . 39626340500 . 0000000034859 . 94652243861 . 4834325930- 0 . 00009727121 . 48352997320 . 00000010908612 . 79968310001 . 5008814407- 0 . 00010171601 . 50098330540 . 00000014878717 . 56270023851 . 5183428584- 0 . 00009359091 . 51843661680 . 00000020、16768827 . 10036354121 . 5358190090- 0 . 00007073271 . 53588988520 . 00000014348955 . 73661859651 . 5533091627- 0 . 00003387161 . 55334310000 . 000000065789 . 5113 . 02658044881 . 5620562921- 0 . 00001338841 . 56206970110 . 0000000205常减压有 25 台换热器都采用了渗铝工艺 ; 焦化车间 e105 换热器原用碳钢 , 后换成 304 不锈钢 ; 催 化装置分馏塔顶21、 换热器 、贫富液换热器 、再生塔的实际情况 , 进 行 了 装 置 各 物 料 的 硫 含 量 分 布 调查 ,采取相应的措施 , 基本上能满足加工高硫原油 的需要 。为进一步做 好腐蚀与防护问题 ,尚有大量 工作要做 ,诸如继续加强一脱三注工艺管理 , 继续 筛选 适合不同 油 种 的 破 乳 剂 ; 环 烷 酸 腐 蚀 防 治 工 作 ;进一步加强在线监测 ;加强 腐蚀管理 ,严格防腐 蚀施工品质 , 制定企业内部标准和管理手则 , 使管 理水平更上一个台阶 。底重 拂 器 等 均 采 用 了 18 -这些效果都良 好 。8 不 锈 钢 ,实 际 证 明 ,总结扬子石化公司炼油厂根据安全22、要求 ,结合装置4(上接第 8 页)在迅速兴起一部分购买能力较强的消费群体 ,他们 或者是私营企业主 , 或者是白领阶层 , 但无一例外 均是有着较高的社会地位 , 以及不菲的收入 , 对于 这部分人群经济型轿车已无法满足他们的需求 ,而 国外进口的中级轿车性价比差 , 尤其是价格较高 , 也不是他们的首选 。他们的选择停留在国产中级 轿车 (主要是中外合资品牌) 的档次上 。因此 ,越来 越多的厂商便开始加大这一领域的投入力度 ,争夺 市场份额 。今年刚上市的本田新雅阁 、马自达 m6 等中级轿车就不断参与了这一竞争 ,使得国产中级 轿车的市场争夺更加激烈 ,同时也促进了各家厂商 不断推出新23、款式和新配置 ,提高性价比 。如海南马 自达生产的福美来价格在 16 18 万元 , 其性价比 可谓很高 ,凭借中级轿车的品质 ,低廉的价格 ,必然加快了其中级轿车拓展市场的进程 。大了 。人们买车不再一味追求低价格 ,更加注重的是厂商的信誉和售后的各种维护以及咨询服务的 配套齐全 。对于这一方面 ,与雅阁 、丰田 t1 同属中 级轿车的北京现代索娜塔作出的回应是 : 现在中国 的汽车一般是保修 1 年 , 很少量的是保修 2 年 , 如 果北京现代索娜塔保修 10 年 , 用户会有怎样的信 心 ! 在营销和售后服务网络建立方面 ,北京现代索 娜塔根据中国的实际情况改进了刹车系统 、座椅 、 24、内饰等方面 ,从韩国调来了专门负责市场推广的人 员并安排试驾活动 ,以免除消费者买车中的后顾之 忧 ,从而使消费者对产品有更全面的理性认识和真实的感性体验 。42003 年国产中级轿车的舞台如果说 2002 年汽 车 销 售 是 马 到 成 功 的 话 , 那今年国产中级轿车的销售必定是三羊开泰 。可以说 ,国产中级轿车在 2003 年的“震撼登场”,使国人 对中级轿车的认识又达到了新高度 ,这不仅可以促 进汽车产业的良性发展 ,而且对推动国民经济的增 长也将起到重要的作用 。3消费者购车理性化增强如今买车越来越成为一种个 人 化 的 行 为 。随着各种新车型新品牌的涌现 ,消费者可选择的空间(上接第 22 页)按 上 述 公 式 计 算 , 当 = 33( 对 应 于 次普通迭代得到原始初值计算公式 ( 12) (其中 =5155 和 = 319 ) , 最后运用三次 n r k 迭代公式(13) ,便 可 在 0 , / 2 的 全 区 段 求 得 误 差 不 超 过1174 10 - 7的近似解 1 。若

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