二项式定理综合测试题（有答案）
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二项式定理综合测试题（有答案）
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二项式定理综合测试题（有答案）
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
选修2-3& 1.3.1 二项式定理
一、1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)A．2n 　 　&&B．2n＋1　　C．2n－1　 　&D．2(n＋1)[答案]　B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是(　　)A．Crn& &&&B．Cr＋1nC．Cr－1n& &&D．(－1)r－1Cr－1n[答案]　D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是(　　)A．－27C610& &B．27C410C．－9C610& &&D．9C410[答案]　D[解析]　∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(;全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是(　　)A．－4& &&B．－2& C．2& &&&D．4[答案]　C[解析]　(1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)A．3& &&&B．5& C．8& &&&D．10[答案]　B[解析]　Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　　)A．－297& &&B．－252& C．297& &&D．207[答案]　D[解析]　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(;北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(　　)A．3& &&&B．4& C．5& &&&D．6[答案]　D[解析]　通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(;陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)A．－1& &&B.12& C．1& &&&D．2[答案]　D[解析]　Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)A.112＜x＜15& &&B.16＜x＜15C.112＜x＜23& &&D.16＜x＜25[答案]　A[解析]　由T2&T1T2&T3得C162x&1C162x&C26(2x)2∴112＜x＜15.10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)A．4项 &&&B．5项& C．6项& &&D．7项[答案]　A[解析]　Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r&#－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]　－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案]　5[解析]　解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案]　2[解析]　C36(x2)3&#＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(;辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]　－5[解析]　(1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]　根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]　由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析]　(1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r＝(－12)r•Crn•xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，C810•(－12)8•x－2.18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]　通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r&#xr.由已知条件知：C0n＋C2n&#C1n•12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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二项式定理(习题含答案)
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摘要：本文对二项式定理的基本题型及由定理引申出的问题进行了分析。
关键词：通项公式；系数；展开式
作者简介：汪海峰，任教于安徽师范大学附属外国语学校。
　　一、二项式定理要点精析
　　1.二项展开式的特征
　　（1）二项式(a＋b)n的展开式项数为n＋1项；
　　（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n；
　　（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐渐减少1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐渐增加1直到n。
　　2.二项展开式的通项公式
　　二项展开式的通项公式（r＝0，1，2，&，n）在解题时应用较多，因而尤其重要。对于通项公式应理解以下几点：
　　（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定，对于一个具体的二项式，它的展开式中的项依赖于r；
　　（2）通项公式表示的是第r＋1项，而非第r项，r＋1是项数，r不是项数；
　　（3）公式中二项式的第一个量a与第二个最b的位置不能颠倒，且它们的指数和一定为n。
　　3.二项展开式的二项式系数
　　二项展开式中，系数（r＝0，1，2，&，n）叫做二项式系数。它们是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关。但二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，即前者只指，而后者是指该项除字母以外的部分，其中还包括符号。如在(2x－3y)n的展开式中，第四项是，第四项的二项式系数是，而第四项的系数是。显然，它们二者既有区别，又有联系。
　　4.二项式定理的应用
　　（1）二项式定理的本质是给出了一个恒等式，因此，通过&一般&与&特殊&的联系，便可把一类问题通过构造来求解；
　　（2）证明组合恒等式或求组合数的和，常用赋值法和构造法；
　　（3）利用二项式定理证明不等式时，设法将待证式用二项式定理展开成较简单的表达式，对高次可考虑用放或缩的手法处理，放和缩的原则依不等式的特征而定，但必须注意运算过程中的符号，以防失误；
　　（4）利用二项式定理研究整除问题，若除数为m，则关键是把被除式写成(am＋b)n的形式，其中a、b是整数（或整式）；
　　（5）在二项式定理中，如果令b＝x，则二项式定理变成函数f(x) ＝(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋&＋anxn，从而使二项式与函数联系起来，使得求二项式的各项系数和化归为求函数值问题。
　　5.二项式系数的性质
　　（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端&等距离&的两项的二项式系数相等；
　　（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分逐渐减小，二项式系数最大的项在中间。要注意当n为偶数时，中间一项是第为项，且这一项的二项式系数最大，即为；当n为奇数时，中间两项是第和第项，这两项相等且最大，即为。
　　二、特别提示
　　1.二项展开式的通项公式中含a、b、n、r、Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，但必须注意n是正整数，r是非负整数（不要忽视r＝0的情形），且r&n。
　　2.(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到二项展开式的某一项时是不同的，(a＋b)n的第r＋1项是，(b＋a)n的第r＋1项是，因此要注意项数与顺序的关系。
　　3.解决与二项式定理有关的问题时应注意：
　　（1）用二项式定理解决与&项&有关的问题时，经常使用二项展开式的通项公式，具体计算时应注意处理好符号及根式计算和指数运算，避免出错；
　　（2）运用二项展开式及其系数的性质可以进行近似计算、判断整除性、求组合数的和等，但在近似计算时，对于展开式的取舍要按精确度的要求处理，即必要时可采用更精确的近似公式。
　　三、二项式定理问题的延伸与创新
　　在学习(a＋b)n (n&N＋)的展开式时，我们首先研究了(a＋b)4的展开式的各项形式，并说明了展开式中各项的系数的确定方法，于是在理论上类似可以得(a＋b)n (n&N＋)的展开式的各项形式以及各项系数的确定方法。
　　(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b)&&(a＋b)（n个式子相乘）
　　等号右边的积的展开式的每一项，是从n个括号中每个里任取一个字母的乘积，因此各项都是n次式，各项形式为an－rbr，其中r＝0，1，2，&，n。所以an－rbr项的系数可以这样确定：在上面n个括号中，恰有r个取b，有种，在剩下的n－r个括号中全取a，所以
an－rbr的系数是。因此，在理论上又可类似得知：(a＋b＋c)n，(a＋b＋c＋d)n，&，(n&N＋)的展开式的各项的形式以及各项系数的确定方法。
　　四、二项式定理的基本题型
　　类型1：求常数项
　　例1：在的展开式中，常数项是&&&&&& 。
　　A、14&&&B、－14&&C、42&&D、－42
　　解：，令21－k＝0，则k＝6。
　　故展开式中的常数项是＝14，故选A项。
　　类型2：求二项式的指数
　　例2：若在的展开式中，第4项是常数项，则n＝&&&&&& 。
　　由题意可知，＝0，解得n＝18。
　　类型3：求特定项的系数
　　例3：在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋&＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数是&&&& 。
　　解：x2的系数应是(1＋x)，(1＋x)2，(1＋x)3，&，(1＋x)6各展开式中x2的系数之和，于是有。
　　故x2的系数是35。
　　类型4：求解整除问题
　　例4：9192除以100的余数是&&&&& 。
　　解：9192＝(1＋90)92＝1＋92&90＋100M＝M（M为整数），故所求余数是81。
　　类型5：求二项式中的参数
　　例5：已知a为实数，(x＋a)10的展开式中x7的系数是－15，则a＝&&&&& 。
　　解：，易知r＝3时得x7的系数为，解得a＝。
　　例5：若展开式中存在常数项，则n的值可以是&&&&& 。
　　A、8&&&B、9&&&C、10&&&D、12
　　解：。
　　令，得，故r为3的倍数，n为5的倍数，故选C项。
　　类型6：求系数的最大值或最小值
　　例6：(1＋2x)10的展开式中系数最大的项是&&&&& 。
　　A、第5项&&&B、第6项&&&C、第7项&&&D、第8项
　　解：第k＋1项的系数是，第k项的系数是，第k＋2项的系数是。
　　若第k＋1项的系数最大，则&，且&，
　　所以&k&，又k&Z，因此k＝7，故选C项。
　　类型7：求近似值
　　例7：在求解中需对1.0110作近似计算（依题意保留0.0001即可）。
　　解：1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋&0.01＋&0.012＋&0.013＋&＝1＋0.1＋0.12＋&&1.1046。
　　类型8：求展开式中有关系数的和
　　例8：(1－2x)100的展开式中的奇数项系数之和是&&&&& 。
　　解：设(1－2x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋&＋a100?x100。
　　令x＝1，则有a0＋a1＋a2＋&＋a100＝1，
　　令x＝－1，则有a0－a1＋a2＋&＋a100＝3100，
　　两式相加得2(a0＋a2＋&＋a100)＝3100＋1，
　　故奇数项系数之和为a0＋a2＋&＋a100＝。
　　类型9：求特定的项
　　例9：的展开式中，含x的正整数次幂的项共有&&&&& 。
　　A、4项&&&B、3项&&&C、2项&&&D、1项
　　解：，当k＝0，6，12时，是含x的正整数次幂的项，故选B项。
　　类型10：构造二项式模型求组合数的和，证明恒等式
　　例10：求证：。
　　证明：把(1＋x)2n直接展开得到展开式中的xn的系数，再把(1＋x)2n化为(1＋x)n?(1＋x)n，分别展开(1＋x)n，得到(1＋x)2n展开式中xn的系数，故。
作者单位：安徽师范大学附属外国语学校
邮政编码：241000
Basic Questions Types and Accurate Analysis of Binomial Theorem
WANG Haifeng
Abstract: This paper analyzes basic questions types of binomial theorem and some problems resulted from& theorems.
Key words: the for expanded form
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2014高二数学寒假作业检测试题查字典数学网为同学总结归纳了高二数学寒假作业检测试题。希望对考生在备考中有所帮助，预祝大家寒假快乐。1.在5的二项展开式中，x的系数为()A.10 B.-10 C.40 D.-40解析：选D Tr+1=C(2x2)5-rr=(-1)r25-rCx10-3r，令10-3r=1，得r=3.所以x的系数为(-1)325-3C=-40.2.在(1+)2-(1+)4的展开式中，x的系数等于()A.3 B.-3 C.4 D.-4解析：选B 因为(1+)2的展开式中x的系数为1，(1+)4的展开式中x的系数为C=4，所以在(1+)2-(1+)4的展开式中，x的系数等于-3.3.(2013全国高考)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56 B.84 C.112 D.168解析：选D (1+x)8展开式中x2的系数是C，(1+y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1+x)8(1+y) 4展开式中x2y2的系数为CC=286=168.4.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A.-40 B.-20 C.20 D.40解析：选D 由题意，令x=1得展开式各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，a=1.二项式5的通项公式为Tr+1=C(-1)r25-rx5-2r，5展开式中的常数项为xC(-1)322x-1+C(-1)223x=-40+80=40.5.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn中，若2a2+an-3=0，则自然数n的值是()A.7 B.8 C.9 D.10解析：选B 易知a2=C，an-3=(-1)n-3C=(-1)n-3C，又2a2+an-3=0，所以2C+(-1)n-3C=0，将各选项逐一代入检验可知n=8满足上式.6.设aZ，且013，若512 012+a能被13整除，则a=()A.0 B.1 C.11 D.12解析：选D 512 012+a=(134-1)2 012+a，被13整除余1+a，结合选项可得a=12时，512 012+a能被13整除.7.(2014杭州模拟)二项式5的展开式中第四项的系数为________.解析：由已知可得第四项的系数为C(-2)3=-80，注意第四项即r=3.答案：-808.(2013四川高考)二项式(x+y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答).解析：由二项式定理得(x+y)5的展开式中x2y3项为Cx5-3y3=10x2y3，即x2y3的系数为10.答案：10. (2013浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A=________.解析：因为5的通项Tr+1=C()5-rr=(-1)rCxx-=(-1)rCx.令15-5r=0，得r=3，所以常数项为(-1)3Cx0=-10.即A=-10.答案：-1010.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2++a7x7，求：(1)a1+a2+(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|++|a7|.解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.(1)∵a0=C=1，a1+a2+a3++a7=-2.(2)(-)2，得a1+a3+a5+a7==-1 094.(3)(+)2，得a0+a2+a4+a6==1 093.(4)(1-2x)7展开式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|+|a1|+|a2|++|a7|=(a0+a2+a4+a6)- (a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.11.若某一等差数列的首项为C-A，公差为m的展开式中的常数项，其中m是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.解：设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn.由已知得又nN*，n=2，C-A=C-A=C-A=-54=100，a1=100.+1)77-15=++C76+1-15=76(++C)-14=76M-14(MN*)，7777-15除以19的余数是5，即m=5.m的展开式的通项是Tr+1=C5-rr=(-1)rC5-2rxr-5(r=0,1,2,3,4,5)，令r-5=0，得r=3，代入上式，得T4=-4，即d=-4，从而等差数列的通项公式是an=100+(n-1)(-4)=104-4n.设其前k项之和最大，则解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25=S26=25=25=1 300.12.从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{r|rN，rn}.(1)证明：f(r)=f(r-1);(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.解：(1)证明：f(r)=C=，f(r-1)=C=，f(r-1)==.则f(r)=f(r-1)成立.(2)设n=2k，f(r)=f(r-1)，f(r-1)0，=.令f(r)f(r-1)，则1，则rk+(等号不成立).当r=1,2，，k时，f(r)f(r-1)成立.反之，当r=k+1，k+2，，2k时，f(r)以上就是高二数学寒假作业检测试题，希望能帮助到大家。
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