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构建数学问题系统与数学“问题解决”的实验研究.doc
上传: 姜莉明 &&&&更新时间： 18:47:31
第一章：引&& 言
1．1数学问题系统与数学&问题解决&概念
乔治、波利亚指出：掌握数学就是意味着解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发明创造的&题&。因此数学问题解决是一个比较复杂的心理过程，其中最关键的活动是思维。问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和问题解决，数学教学的核心就是培养学生解决数学问题的能力。由此，问题构建和问题解决即是数学教学的关键所在。
数学问题系统，是指教师根据数学材料系统的逻辑结构及其知识发生过程的一般规律，依照学生认知结构与认知发展规律，由数学教师编制的目的明确，难易适当，数量相宜的一系列问题。
数学&问题解决&及其特征。
根据数学问题的涵义，数学&问题解决&是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。
数学&问题解决&是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程。与其它一般问题解决一样，数学学习中的问题解决也具有以下基本特征。
第一，数学&问题解决&指的是学生初次遇到的新问题，如果是解以前解过的题，对学习者来说就不是问题解决了，而是做练习。
第二，数学&问题解决&是一种积极探索和克服障碍的活动过程。它所采用的途经和方法是新的，至少其中某些部分是新的，这些方法和途径是已有数学知识和方法的重新组合。这种重新组合通常构成一些更高级的规则和解题方法，因此数学问题解决的过程又是一个发现和创新的过程。
第三，数学问题一旦得到解决，学生通过问题解决过程所获得的解决问题的方法就成为他们认知结构的一个组成部分，这些方法不仅可以直接用来完成同类学习任务，还可以作为进一步解决新问题的已有策略和方法。
数学是一门系统的学科，数学是锻炼思维的体操，构建数学问题的系统有助于学生更系统的学习，从而更好的解决问题，因此本文探讨老师如何构建数学问题系统的原则、方式的教学，与数学&问题解决&的&四步反馈程式&教学相结合，通过老师数学问题系统的构建对学生进行系统教学。
1．2& 研究理论的基础
从20世纪80年代开始，问题解决（problem　solving）就成为国际数学教育的主流。全美数学理事会（nctm）在《行动的议程》（1980）中明确提出必须把&问题解决&作为80年代中学数学教育的核心：&80年代的数学教学大纲应当在各个年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去&；&数学课程应当围绕问题解决来组织&；&数学教师应当营造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境&。在《美国学校数学课程与评价标准》中，&作为问题解决的数学&是各个年级数学课程的首要标准；全美数学督导委员会从职业教育和继续教育要求出发，提出21世纪学生应具备的12种&基础&的数学能力，问题解决是其中的首要能力[1]。
在这方面，影响甚大的学者是ｇ.波利亚（gourge polya）。波利亚很早就觉悟到&问题解决&的特殊作用。早在1945年在他的《如何解决》（how to solve it）一书中就对&问题解决&提出了他的见解。他认为，所谓&问题解决&是当时人们有意识地寻找能达到已经有了明确的构想、但又无法立即达到的目标之行动；找出这样的行动，即是&问题解决&。80年代他首先倡导在数学教学领域采用&问题解决&教学。从此&问题解决&成为各种数学教育会议的中心议题。在人类教育史上，很少有一个具体的课题能像&问题解决&那样在短时期内同时吸引如此众多的研究者和实践者的关注[2]。
英国的《cockcroft报告》（1982）将&问题解决作为课程论的主要组成部分&，强调&数学只有在解决各种实际问题的情况下才是有用的&。日本在1987年的课程审议会的方案中要求制定数学课程时，要提高&问题解决&的能力。在近几届国际数学教育会议上，问题解决始终是重要的议题。1996年7月在西班牙举行的第八届国际数学教育会议上，第10个专题就是&贯穿于课程中的问题解决&。2000年7月在日本东京的第九届国际数学教育会议上，第8个专题就是&问题解决&[3 ]。&&&&&
在我国教育教学改革浪潮推动下，特别是素质教育理念的导引下，我国教师安于现状的局面被打破了，&问题&导学、创设&问题&情境成为许多教师改革旧教学的一个共同 &法宝&。在&借鉴多元智能& 开发学生潜能&课题组研究活动的推动下，&问题解决&教学在我国某些地区实施的历程，已经正在经历如下三个发展阶段：以&问题&导学为特征的&问题解决&教学的探索阶段；以&问题连续体&的运用为特征的&问题解决&教学的规范阶段；以自由创造为特征的&问题解决&教学的重构阶段。由于&问题解决&教学在各个地区或学校的发展很不平衡，因此确切地说，这三个发展阶段实际为&问题解决&教学的三个存在状态或体现的三个水平[ 4]。
有学者指出，在数学教育中，&问题解决&的理论实际上是从数学教育的角度出发去研究数学问题解决的方法论问题。&问题解决&之所以受到世界各国数学教育界的重视，是因为它更新了数学教育的观念，已不仅是培养学生的解题能力，而是一种带有全局性的教学模式[5]。在数学教育中，&问题解决&至少有利于下列三个目的的实现：（1）把数学应用到非常规问题和现实问题，以培养学生创造性地解决问题的意识和能力；（2）为学生提供实践应用数学的机会，以认识和掌握数学和现实生活及其他学科的联系，使学生体会到数学的&威力&，提高学生学习数学的兴趣和信心；（3）学生通过参与&问题解决&，有助于获得和加深对数学知识和数学思想方法的理解[ 6]。由此可以看出，&问题解决&理论的提出构建了一种新的数学教学模式。相对于以前的数学课堂，它带有根本性和全局性的改变，它有助于学生深刻地理解和认识数学、创造性地应用数学知识并形成问题解决的能力[7]。
随着对&问题解决&的认识的提高和观念的转变，人们对这一课题的研究由议论转为探究，由现象转为实质探索，由分散&出击&转为课题研究。从1992年开始我国每年举办一次全国大学生数学建模竞赛，1993年北京市数学会开始举办&方正杯&中学数学知识应用竞赛；1993年在《数学通报》上严士健、张奠宙、苏式东联名发表文章《数学高考能否出点应用题》；同年张奠宙的《中学数学问题集》问世；1996年全日制普通高级中学数学教学大纲进一步强调&逐步运用数学知识来分析问题和解决实际问题的能力&。同时为了适应21世纪数学改革的需要，推动数学课程及教学的改革与发展，1996年7月启动了&问题解决教学&的研究课题组，并且得到了原国家教委师范教育科研项目的赞助。对于&问题解决&教学的研究，人们正试图从不同的方面进行相关的研究[8]。
综观以上研究，我们不难发现，这些研究仍然以理论思辩为出发点，许多结论是从一般教育的研究中移植而来，关于数学学习中&问题解决&的相关实证研究亟待加强，&问题解决&的前提应是对数学问题的系统！而数学问题的系统对&问题解决&的作用有多大的指引呢？如何平衡大班教学对&问题解决&的掌控与数学问题系统要求过高与过低呢？&问题解决&的要求那么要，每个学生是否能以应用等。因此课题旨在：（1）使研究具体化到问题与解决问题
（2）使研究具体化到目标（通过老师数学问题的系统的构建来教学学生&问题解决&，培养思维的深度，开发元认知，训练元认知，提高数学问题解决能力）。
在一定理论基础上，本课题提出了一点理论设想：
通过数学问题系统的构建及其数学问题系的解决，能开发学生的元认知能力，有利于提高学生数学知识的掌握水平。
问题是数学的心脏&数学问题解决是数学学习的核心&问题系统的构建是问题解决的基础&思维是问题解决心理活动的关键。
&学生数学问题解决的能力通过质量和效率表现出来，数学问题解决的质量和效率的关键又是学由学生解决问题的目标意识和解决问题的策略性决定的，通过学&问题解决&，学生能主动寻求解题策略，了解自已解题的进程，以及意识自已的认知风格，进而丰富元认知知识；通过数学问题解决，学生积极超越障碍，在问题解决的每一阶段产生对&知&与&不知&的情感体验，以此启发学生问题解决的自信心，进而调到学生元认知体验的参与；通过数学问题解决，能刺激学生思维模式深层结构的内部机制，并通过对解题过程进行自我控制，自我评判，使思维活动成为一种有目的性、可控性的组织活动，这在很大程度上强化了学生的主体意识，进面强化了问题调控意识[9]。
第二章 学生的学习状况和课题的必要性
2．1学生的学习状况
在高中阶段，我们的学生学的如何呢？因此我们对高中的知识进行了一次全校考试，其中笔者在改如下试题，此题为19题，应该说在此题在导数这一章并不是很难，也是常见的题目，平时训练也可见，我们可以看以下的统计的数据：
19题：函数
讨论 的单调性，并求其极值；
全校平均分为：5.6分，第一问全做对46%，二问都做对的37%，
错误有如下几点：
很多同学审题不细，这里是 ，没有考虑定义域，造成直接丢分
一些同学计算不过关，对算出极大值，与极小值介定不清，此题只有极小值，没有极大值。
很多同学构造一个新的函数比较陌生，平时老师虽然讲过类似题，但很多只有浮于模仿，而对于一个新的不等式，面对紧张的考试，一时难以想到。
采用 ， 方法，对最大与最小分不清楚，老师曾做过&有个人比你班上人高&等价于&比你班上人最高的高&这种形象的生活比拟，而学生理解，但转化数学问题，难以分清。
计算能力失语，&细节决定成败&12分在笔尖的计算中出错，造成得不到答案
2．2：对高中数学教学的反思
　 2．2．1、学生运算能力训练不到位
回顾高一、高二的教学过程，在函数、不等式、数列、解析几何等重点知识的教学中，有时过分追求课堂上学生的思维量及知识容量，把很多学生亲自动手运算的机会教师代替了或置于课后让学生用课余时间去运算，教师讲得多而学生真正练得少，对学生的运算能力训练不到位；另外学生有时使用计算器，从而学生的运算能力较差。
2．2．2、学生自主学习意识不强、创新能力欠缺
新课程改革的高考，体现了新课程背景下的&新&的特点，要求学生能自主学习，主动参与课堂学习，对学生的思维能力及灵活解决问题的能力要求很高。而在高一、高二教学中，教师强调基本概念与解题的思路方法，教师示范学生模仿，学生很少参与课堂教学的单一教学模式，已不适应今后的高考要求；对新背景下的新题型学生缺少解决的方法，特别是对应用题解法的欠缺，关健在于学生缺少创新的意识。因此课堂教学应让学生主动参与，激活学生思维，重视培养学生从多角度，灵活解决问题、分析问题的能力，让学生明白解答一道题不仅只会单纯地为解题，更是要学会一种思考与解决问题的方法，要放手让学生更自主、更开放地去解决问题。
2．3课题所做的必要性
& &&有专家曾指出社会老师有二类：一类是&教书匠，教书功底扎实，带的班的也很好&。另一类是科研型教师：指科研兴教的意识强、理论水平高、具有较为完备的科研操作技术的教师。他们在先进教育思想的指导下，以扎实的科研知识为基础，以丰厚的教育理论为武器，运用科学的操作手段，在自己的教育教学工作中实现科学育人的目标。
& &&因此科研教师是时代的要求，是最受学生欢迎的老师，由科研来推进教学，由教学来做科研。
作为教育硕士的我，利用课余时间学习了《教育心理学》《教育学》《英才是怎样造就来的》《中学数学名师教学艺术》《中学数学教材教法》《当代心理学》《教学论》《元认知开发与数学问题解决》《最佳思维方法在中学数学解题中的应用》等等受益很多，但我知道教育是一门高超的艺术，理论指导前行，要想作为一名受学生欢迎的教师，除了关爱学生，我们还要提高我们高效的课堂45分钟，充分调动学生的积极性，培养学生的学数学兴趣和热情，提高学生的成绩。
&& 曾几何时，有很多学生问我：老师，我每天发了很多时间做数学，但数学还是提高不理想。
曾几何时，有很多学生问我：老师我上课能够听懂所讲的内容，但课后做作业还是不太会做。
曾几何时，有很多学生问我：老师，我和某某同学学习环境一样，智力也跟某某同学一样，但为什么我的成绩就是不如他好呢？
、、、、、、、
每当问及这些问题时，我知道这是高中常见现象，数学是一门基础学科，是一门严谨性很强的学科，学数学实质就是解题！而高中数学比起初中数学很大的不同是：（1）思维性更严密，例如：含字母参数的讨论，数列中的递推运算。（2）分析问题的系统化；（3）运算过程的繁杂性，有一大部分学生对圆锥曲线的稍微复杂一点就有放弃的念头；（4）高中应具备良好的心理素质，高中各类名目的考试特别多：比如有月考，期中考试，阶段评估考试，重点学校联考，期末考试，没有一个良好的心理素，没有良好的应对生活的挫折，是很难在高中阶段取得好的成绩的。
因此每当学生提及上面的问题，除了鼓励，我们更多应跟他们分析高中与初中的不同，以及如何积极克服。作为老师，我们知道学习除了智力因素外，还有一个非智力因素，例如学习的品质，学习习惯，学习毅力，学习态度，学习方法等，因此从某种意义上讲：非智力因素就是&问题解决&行为的表现。
作为教师必须对&问题解决&行为理论认识深刻，这样在数学教学中可以帮助指导学生，&问题解决&的监控是对学习过的知识的复习、总结、反思。许多同学对同一问题一错再错，就是因为缺乏反思，使学生明确&问题解决&的目的和意义，使学生体验学习策略或方法不同。数学反思的目的是最大限度地提高前一时日的学习效果，这样可使他们自觉，积极去开展反思活动。因此，我们有必要开展这一课题，用理论来指导实践。
& 第三章& 数学问题系统的构建原则、方式与&问题解决&四步反馈程式及教学意义
3．1数学问题系统的构建原则
数学问题系统，是指教师根据数学材料系统的逻辑结构及其知识发生过程的一般规律，依照学生认知结构与认知发展规律，由数学教师编制的目的明确，难易适当，数量相宜的一系列问题。依据《高考大纳要求》和当地学生的实际情况，为此制定以下原则（1）目的性原则，即要保证数学问题系统围绕教学目标而构建，使问题具有针对性和实用性，避免搞题海战术而盲目做题，减轻学生学习负担，因而保证数学教学活动围绕教学目标有效地运转；（2）系统性原则，即要保证数学问题系统体现知识系统完整，方法技能的选用应注意动用多种感官参与；（3）分层分组合作原则，即要保证数学问题系统注重引导不同层次学生主动思维，正如临川一中口号一样：让平凡的学生变成优秀，让优秀学生变成一流，让一流的学生变为超一流，力求做到每一个学生在课堂中学有所得；（4）拓展性原则。即要保证数学问题做到迁移开拓适度，又要能巩固加深其知识点，实现知识结构完整和认知结构的优化。
下面我们在二则课例中体现与说明：
课&&& 例1：我们在讲解轨迹方程时候，很多学生对轨迹的问题不太清楚，我们有必要对此进行专门巩固，运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹是高考的考查对象（本课例作为后面教学案例）
1【演示】这是美丽的城市夜景图
【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线，研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多
【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线
提出问题：
问题1：线段 长为 ，两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，求线段 的中点 的轨迹方程。
举一反三：
问题2：线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。
问题3、线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。
问题4、线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。（说明是什么轨迹）
改变a、 点的运动方式，同样考虑中点 的轨迹，教师进行适当的指导（这里固定a点，运动b点）
变式1、已知a（4，0），点b是圆 上一动点，ab中垂线与直线ob相交于点p，求点p的轨迹方程。
变式2、已知a（2，0），点b是圆 上一动点，ab中垂线与直线ob相交于点p，求点p的轨迹方程。
课例2：高中数学专题之分类讨论
分类讨论思想：在解决综合问题或复杂问题时，可将所研究对象的集合按照一定的标准，划分为若干个部分去分析研究，再把分析研究的结果综合起来，从而使原问题在总体上得以解决。
引起分类讨论的因素非常多，常见的有：1.根据绝对值定义进行分类讨论
&2.根据函数定义域等定理限制进行分类讨论 3.根据图形位置进行分类讨论
&&4.根据运算的要求进行分类讨论 5.其他情况
&&& 一般思路：分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则& 分类讨论常见的依据是
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论
&&&& 1.弄清分类原因，找准分类对象
&&&& 2.选择分类标准，正确作出分类
&&&& 3.明确分类层次，优化分类顺序
问题1：在涉及绝对值问题时，需要分类讨论，常运用零点讨论分类，以去掉绝对值符号求解。如 && 此题是常见的容易题，解法略，引申2005年高考题已知，函数 （1）当 （2）求函数 在区间[1，2]上最小值
问题2：根据函数定义域等定理限制，如二次函数对两根大小的讨论
例如： 引申到 ，再迁移为 ，从而让学系统认识到根的比较，与参数有关，
对于在平面几何中，常因为图形性质不同引发讨论
问题3：给出定点a（a,0)（a＞0）和直线l& x=&1，b是直线l上的动点，&boa的角平分线交ab于点c& 求点c的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系
思路：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法& 综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力
从上面课例中我们发现二点：其一，构建的问题系统要充分利用学生发现新知的成就感进行点拔，设置就疑，如例1中，在&中点与非中点的轨迹&与&a，b运动方式与坐标轴&解法都是不同，由引引申出椭圆，双曲线，抛物线，从具体到抽象，从简单到复杂，从平凡题变为高考题，让学生行走历史的探究，所用的知识点&直线方程，圆锥曲线知识点一个个突破，让学生对此类的问题形成一个系统的认识，让学生知道原来试题是这样出的，从而提高学生的兴趣。其二：教师通过对学生形成性问题的测试，了解教学信息，以便矫正偏差、补救知识，做到形成性迁移，结果性迁移，还断调整思路，产生螺旋式上升，从而研解高考的难题，如例2中，我们有必要对分类情况进行系统，从各种不同角度去诠释它出现的题型。让学生会自主学习，引导自主分类，攻其重点，突破难点，由一个点形成一个面，由一个面形成一个网，从而提高学习成绩。
3．2数学问题系统的构建方式
1构建横向问题系统----认知操作系统
构建横向问题系统，即构建知识网络，实现认知结构的整体优化，其中：
操作式问题&&借助多种操作性教学手段，动用&眼（直观演示）、耳（听算训练）、口（口算和说理训练）、手（动手操作）、脑（多想多思）&等各种感官参与；
多变式问题&&做到一题多变，一题多问，一法多用，一题多解；
类化式问题&&构建比较式问题，使新知识点类化到知识网络的恰当位置上，实现知识网络的重建与改组；
目标式问题&&构建识记、理解、运用、分析、综合、反思、评价式问题系统；
速度与难度式问题&&既要注重解题的质量，又要注重解题的效率（速度）；既要注重对学生逻辑思维的训练，又要注重非逻辑思维的训练，鼓励学生动用直觉思维，以&看谁算得又快又准&等形式来突出这一要求。
2构建纵向问题系统&&知识内化系统
构建纵向问题系统，即构建螺旋性问题，通过剖析新知，使之逐步转化为己知，实现知识网络向认知结构的有效纳入和内化。其中：
迁移性问题&&课堂教学授新知前对旧知的复习，做到知识的有效迁移，
求创设教学情景；
过渡性问题&&在旧知基础上构建靠近新知的问题，做到置疑引趣，导出授新内容，以求达到目标激励和目标强化；
反馈性问题&&授新过程中为了解教学信息，以矫正偏差而构建的形成性问题，以求教学信息的反馈；
强化性问题&&授新后为巩固新知构建的总结性问题，以求教学信息的再反馈；
延伸性问题&&课堂最后5分钟设置新的疑点，使课堂解题兴趣转化为学习动力，达到课内向课外延伸。
在数学问题系统中纵向系统以课堂教学结构为主线，横向系统渗透在从纵向系统之中，开形成一种立体网络结构。
3构建数学问题系统链-cpfs结构的概念
cpfs结构的概念涉及概念域、概念系、命题域、命题系[11]。
问题系统链是数学知识结构的表现形式。对于数学问题，将它进行深化、推广、引申、综合，找到了问题与问题之间新的联系，通过这种过程的不断深化和逐步推进，而找到的具有内在联系的若干问题，就形成了问题链[12 ]。
以问题教学可分为：问题本身链、问题推广（收缩）链、问题引申链等。
问题本身链&&实质指在命题条件相同的情况下，推出不同形式的各种结论开成的问题系，它可以深化对某一数学概念的理解，对问题认识更深刻。
问题推广性链&&从研究一个对象过渡过到研究包含对象的一个集合，于此展开问题，就形成了问题推广性，反之则聚敛。
问题引申链&&引申和推广的区别在于推广是一种特殊的引申，它的原则是特殊到一般，从具体到抽象，对感性到理性认识，引申则只要具有某种联系就可以进行，可以从不同方向进行派生。
作为一种教学模式，数学问题教学的特征大致可归纳于：问题的提出和解决是渐进的，学生能通过自己的体验，构建新的认知结构，有助于树立自己的信心，教师是教学活动的主导，学生是教学认识的主体。
让学生在尝试中发现问题，现代认知结构理论认为，学习不是由教师向学生传授知识，而是学生自己构建知识的过程。例如：我们在讲解推理与归纳教学时，可以列出一组有规律的数，由学生分组去探究，发现规律，找出结论。
问题教学课堂是以问题为主线，以发现问题&解决问题&再发现问题为过程，具有传统教学的优点，又能更好融合在新教学理念中。
3．3数学&问题解决&的四步反馈程式
在数学问题系统的构建过程中伴随着问题解决，问题解决过程实际上是一种积极的思维过程，因此，在课堂教学过程中，教师要有意识，有目的地训练学生思维，因此，要训练学生思维，必须构建一套模式，本课题以&构建数学问题系，培养学生解题能力&为出发点，构建了活化学生思维过程的&四步再反馈&程式。
（作用）& （数学教学结构） &&&&（ 纵向问题系统）&& （ 横向问题系统）&&&&&&&&&
操作式问题
迁移性问题
创设思维情景
过渡性问题
多变式问题
反馈性问题
类化式问题
教学再反馈
强化性问题
速度与难度
课内外拓展
延伸性问题
目标式问题
模式1：教学过程中的数学问题系统的构建模式
3．3．1数学问题解决出发点的形成&&提出问题
这一阶段是由一定的信息输入开始的，包含着感性认识和思维活动。其中心内容是审题，通过审题排除不利信息的干扰，提取有利信息。在这一阶段中，要求教师引导学会思考问题，并为学生创设生活情景。
问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．
如图,有一长80cm,宽60cm
的矩形不锈钢薄板,用此薄板折
成一个长方体无盖容器,要分别
过矩形四个顶点处各挖去一个
全等的小正方形，按加工要求,
长方体的高不小于10cm且不大于
20cm．设长方体的高为xcm,体积
为vcm3．问x为多大时,v最大?
并求这个最大值．
解：由长方体的高为xcm，
可知其底面两边长分别是
（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10&x&20).
所以体积v与高x有以下函数关系
v=（80－2x）（60－2x）x
=4（40－x）（30－x）x.
学生问：这个三次方的如何来解呢？
师：由此引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值。
教师通过复习回顾与当前问题有关的已有经验，通过提取材料系统中的已知量，确定未知量，建立已知与已知，已知和未知之间的关系，开成不同层次的形象化的关系系统。确定该问题所涉及的认知经验结构系统，然后把问题引入新的知识点。
3．3．2数学问题解决假设方案的形成&分析问题
这一阶段是由明确问题，已经产生了一定的信息输出开始的。这一阶段要求教师引导学生首先从存贮的记忆（即习惯思维模式）中去找到适合问题的&图示&（在经验基础上内化的有组织结构的知识单元），然后寻求解决问题的方案。如果找到了一种解决问题的方案，那么就产生了一定的输出信息。此时，教师一定要延缓评判，引导学生出声思考，自我评判，不能立即肯定或否定学生的方案。具体地说，要引导学生初次反思自己的方案，包括&你是怎么想的？&、&理想吗？&、&为什么？&等等。反之，如果学生思维受阻，教师要引导学生及时转向，排除思维定势负效应的干扰，即把当前的问题纳入到过去同类问题的知识系统中去，激发认知结构中的以该问题为内核的立体网络式的思维情境，通过类似问题的比较，形成相应的新问题的假设放案，从而实现课题类化，最后，教师必须引导学生迅速初探方案的合理性，其好处在于：避免在无意义的方案上消耗精力，增强解题信心，甚至取得有用的解题信息。这一阶段并不排除在学生讨论过程中，没有能想出方案或者想不出理想方案，此时，需要教师引导或者提示方案，但必须告诉学生你是怎么想的，并让学生评判其优劣。
比如：函数 （1）略（2）求函数 在区间[1，2]上最小值
师：这里有绝对值，作为一般函数，我们只有去掉，是如何找分点分段呢？
生1：由于已知函数 中含有绝对值符号，不能直接对其进行统一研究，
生2：脱去绝对值符号转化为三次函数时本题分类的首要原因，要脱去绝对值符号就要看 与 的大小关系，故 与 都可以作为分类的对象，若对 分类，则属于对定义域参数分类讨论，由于研究函数的性质时定义域有所限制，故划分定义域不是上策，
生3：对 参数首选为本题第一级分类的对象.按照以上分析自然想到以 为标准，将 的范围分为两类： ，这种二分法尽管可以达到脱去绝对值符号的目的，但由于 是闭区间[1，2]上的一个变量，具有不确定性，可能导致继续分类时层次的复杂，故不宜选择为分类标准，
师：我们可以选取选择闭区间的两个端点1，2分类
生：函数 的定义域[1，2]为闭区间，选择闭区间的两个端点1，2、作为分类标准，将 的范围分为三类： （此时已经确定一级分类），&&&&&& 师：非常好，说明同学积极对此问题剖析了，但如此分类 时， 的符号仍不能确定，于是可以肯定本题将涉及多级分类。
3．3．3数学问题解决假设方案的实施和证明&&解决问题
这一阶段是以问题解决假设方案已经形成作为出发点的。这一阶段需要教师引导学生出声思考，准确的进行逻辑推理。要善于采用多层次的抽象、概括、判断、推理等逻辑演绎方法，遵循&整体&&部分&&整体&的规律以及从简单到复杂的规律，采用&小步距&方式来实现&任务解析&，即实现数学问题分层次解决的程式化。
师：通过学生讨论，思考，我们就可按下面思路进行书写了
&&&&&&&&&&& 因为:
&&&&&&&&&&& 则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
③当a&2时，在区间[1，2]上，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&& 若 在区间(1，2)内f/(x)&0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，
&&&&&&&&&&&& 由此得：m=f(1)=a-1.
&&&&&&&&&&&& 若2&a&3,则
&&&&&&&&&&&& 当
&&&&&&&&&&&& 当
&&&&&&&&&&&& 因此，当2&a&3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
&&&&&&&&&&&& 当 ;
&&&&&&&&&&&& 当
&&&&&&&&&&&& 综上所述，所求函数的最小值
& [评析]:本题主要考查运用导数研究函数性质的方法,同时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。
3．3．4最后结论的回顾和反思&&反思问题
对最后结论的回顾和反思过程，属消化、吸收、组织和深化的工作，也就是在数学问题解决之后进行的整体思考和反思，或者说总结与回顾，即再反馈（反馈ii）。他包括该问题解决方案解决方案正确与否？是否最佳？是否能找出另外的解决方案？该方案有什么独到之处？能否推广和做到智能、的迁移？通过回顾和反思尽可能地把&笨&解法改进为&巧&解法，尽可能地把问题一般化，抽象化，引出推论，提出新问题使其应用范围扩大，力求概括出模型，收到以一当十的效果，使结论能向其他方面推衍，尽量扩大其外部效度，这不仅有助于知识的系统化，更有助于使学生的智能和潜能得到更高层次的发挥和提高。
&&& 已知函数 教学反思
师：.需要说明的是，上述思路非常复杂，却是常规思路
其实对第二种分类情况有：当有 时，在[1，2]区间恒有 &又由 故 最小值为 这种方法虽然简单，但许多考生受固定思维影响难以想到。
面对复杂的分类讨论时，尤其面对多级分类讨论时一定要逐级思考，逐级分析最后综合，切忌越级思考，否则难以理清头绪。在分级时由小到大依次讨论可避免遗漏。
&四步再反馈&程式要求在问题解决中，教师通过引导，充分调动学生思维的积极性，强化学生解题的主体意识，引导学生多反思，多出声思考，学会有意识评判自已或别人的解题方案，这样，学生的思维能力才会在这种结合实际的最佳思维过程和最佳解题方案的不断探索，回顾和反思中产生出新颖性、独到性和规律性。与此同时，通过新的发现和回顾，还会使学生的精神得到鼓舞，形成一种正反馈循环，相应地也调动了学生非智力因素的参与，从而既培养了学生的解题能力，又开发了学生的元认知能力。
创设问题情境
&&&&&&&&&&&&&&&&&
新问题的产生
特殊问题的出现阶段现
发现解题时走了弯路
思想和方法有待改进
解题过程中产生的
新思想和先进方法
模式2：数学问题解决中思维模式的&四步再反馈&程式模式
3．4教学问题系统构建与四步反馈程式的教学意义
数学问题系统的构建和四步反馈程式的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用，其功能可概括为以下几个方面。
3．4．1有利于提高学生数学知识的掌握水平。
数学&问题解决&，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程，因此数学&问题解决&的学习有利于学生提高数学知识和技能的掌握水平。如计算异分母分数加减法，要综合运用分数的基本性质、通分和同分母分数加减法法则等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高分数基本性质、通分和同分母分数加减法法则掌握水平的过程。
数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。
3．4．2能培养学生解决实际问题的能力。
在数学&问题解决&的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。
因此&数学问题&解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学&问题解决&促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学&问题解决&能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。
3．4．3能培养学生数学意识。
在数学&问题解决&的过程中，学生对面临的问题要运用哪些数学知识，怎样去运用这些知识才能使问题得到解决，他们都有明确的认识，因此数学问题解决能有效地培养学生的数学意识。首先，在数学&问题解决&中学生能更加明确地认识到过去所学数学知识的重要作用。如加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，学生在学习这些定律时并没有完全意识到它们的作用，只有在用这些定律解决简便计算问题时，他们才真正体会到这些定律的重要性。其次，长期的数学问题解决学习，能培养学生用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。再次，在数学问题解决过程中学生还能切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，这不仅可以增强学生学好数学的信心，还可以使他们更加深刻地感受到自己所学的数学知识都是有用的。
3．4．4能培养学生的探索精神和创新能力。
数学问题解决中的问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。因此数学问题解决有利于学生探索精神的培养。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。
在教学中挖掘数学问题解决中隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质教育赋予小学数学学科教学的重要任务。
第四章&& 构建问题系统与&问题解决&课堂教学训练策略
4．1目标激励和目标强化
具体做法是：（1）引导学生生明确和体验教学或问题目标，使其明确为了达到目标，自己应该做些什么，如果做不到，那么就会失败；（2）引导学生构建目标体系，自觉确定解题目标，订出计划，高效解题策略，调控解题进程；（3）引导学生根据目标选择有效手段，并反思目标与手段的本质联系；（4）引导学生善于自我评价目标体系，总结经验教训，以便充分利用反馈信息调节以后的解题手段和策略[13]。
目标激励和目标强化能使学生调节自已的解题进程，反馈策略，使学生的解题能力得到内在强化，从而提高元认知能力。
4．2创设数学生活问题情景
&牵牛要牵牛鼻子&,在数学教学中，教师牢牢抓住问题，用它来组织教学，学习数学过程是一个&认知情境&&产生冲突&&提出问题&&分析问题&&解决问题&&交流评价&的过程[14]。教师要让学生处于&结构不良&的问题中，去获取相应的信息，而问题解决的核心是强调数学教育的动态过程，强调学生的共同参与，强调数学意识的培养和数学应用的价值，因此，问题解决在课堂教学中得到真正落实四方面工作（1）增加问题或例题的探索层次和探索价值，使学生所获得的知识经历一个合理合情的观察、思考、交流的过程，（2）揭示问题的背景，展现知识的应用价值，让学生了解问题产生及解决的全过程，而不是&掐头去尾，烧中段&。（3）淡化技巧，简化概念，强化情景，加强数学语言交流。（4）真正的好的数学是在在数学家的废纸篓里而不是结果，数学教学目的应是认识论与方法论的传播，从而让学生终生受益。
案例3：我们在高一数学交集与并集的时候，对于学生来说，如何能够更好的从生活中提取数学信息，如果直接说出定义，那就显得很唐突？因此，我们可以从我校游建龙老师上课中体现，（此课获省一等奖）
生活背景：准备若干张扑克牌，按一定方式分组投影供学生观察和思考，并提出问题：
1．这些牌能组成集合吗？
2．按花色看，这些牌能组成集合吗？为什么？按点数呢？
3．按点数看，部分牌组成的集合是把全部牌组成的全集的什么？余下的牌则叫做它的什么？
4．按点数看，集合a、b中，点数相同的牌组成的集合是什么？它与集合a、b有何关系？
按点数看，集合a、b中，所有点数的牌组成的集合是什么？它与集合a、b有何关系？
知识引入：
1．由所有属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做a与b的交集，记作a&b（读作&a交b&），如图所示.
即a&b={x|x&a，且x&b}.
&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&a&&&& b&&&&&
2．由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a与b的并集,记作a&b（读作&a并b&），所图所示.
即a&b={x|x&a，或x&b}.&&&&&&&&& a&&&& b
二个说明：
其一：游戏就是数学，数学就是游戏。利用课堂情景，借助学生熟悉的扑克牌作为载体，设计递进的几个实际问题，符合直观性、活动性的教学原则.
其二：设问分别涉及集合的性质、子集、补集等概念和交集、并集的思想，以旧引新，使得复习不是简单的重复，引入不致生硬，调动起学生参与课堂活动的积极性，自然地进入到新课的学习中来.
案例4：讲解&古典概型&
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录&正面朝上&和&反
面朝上&的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十
数），最后由科代表汇总；
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录&1点&、&2点&、&3
点&、&4点&、&5点&和&6点&的次数，要求每个数学小组至少完成
60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。
老师提问：
1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？
2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
4．3整体展现，小步距反馈
具体做法是；（1）在教学中，教师对教学目标或问题解决可以整体展现，然后引导学生由搏返略，进而对学生进行说理训练；（2）在整体展现基础上，引导学生剖析问题或目标，启发学生对每一步距进行反馈，做到步步反思，&走一步回回头&，从而步步监控，不断获得和分析反馈信息，
4．4抛锚式教学与情境相结合
&&抛锚式教学指在数学课堂教学中，教师通过教学生活与问题情境的创设，使学生在特定情境中去获取知识的过程。情境的创设，能使学生在一个完整、真实的问题问题情境中产生学习的需要，并通过镶嵌式教学以及学习共同体中成员间的合作，去主动学习，生成学习、亲身体验，完成从识别目标到提出和达到目标的全过程[ 15 ]。
抛锚式教学是一种重要的情境教学的范式[16]，深受建构主义学习理论的影响。其设计原则依据的是吉布森的有关&供给者&的理论，设计原则主要有以下两点；（1）学习与教学活动应围绕某一&锚&来设计，所谓的&锚&应该是某种类型的个案研究或问题情境；（2）课程的设计应允许学习着对教学内容进行探索。
教师主动&设锚&：不同的教学内容，问题的呈现方式也不相同。有些内容，可以采用设置悬念来引发学生的学习热情；有些内容，可以由学生容易产生错误的情境来设置&锚&。
师：已经系统地学习了椭圆和双曲线的定义和标准方程，现在来复习其基础知识点，设计如下的问题模式
题1： 分别表示焦点在x、y轴上的双曲线，k的取值范围如何？
题2： 表示双曲线，k的取值范围如何？
题3： 表示什么曲线？
以上三个题目本身都没有什么问题，从解答难度来看，难度越来越大。但是&问题解决&教学注重的是培养学生的思维能力和基本技能，应该给学生充足的思考余地，所以在设置问题时尽量以开放式的题目出现。上面的三个题目中前两个题目知识点显得单一，没有把椭圆和双曲线的知识结合起来，更没有给学生设置一些思维障碍，不利于学生思维能力的提高，而第三个问题就非常好，其解答如下：
分析（1-k）&（2+k）与0的关系得出以下结果：
当（1-k）&0且（2+k）&0即k&-2时表示焦点在y轴上的双曲线；
当（1-k）&0且（2+k）&0即k&1时表示焦点在x轴上的双曲线；
当（1-k）&0且（2+k）&0时 -2&k&1
① 1-k&2+k即 - & k&1时表示焦点在x轴上的椭圆；
② 1-k&2+k即 -2&k&- 时表示焦点在y轴上的椭圆；
③1-k=2+k 即&& k=- &时表示一个圆；
当① k=1时表示直线y= ；②k=-2时表示直线x= 。
这样使学生既回忆了椭圆和双曲线的知识点，也进一步掌握了数学中的分类讨论思想。
4．5建构知识网络图式策略
图式又称框架、摹本、背景知识等，最早见于哲学家康德（1781）的著作，后经皮亚杰和巴利特等人发展成了现代认知心理的图式理论。20世纪70年代后期，美国人工智能专家鲁梅哈特其发展成一种完整的理论[17]。应用建构知识网络图式策略应当注意以下方面。
第一：概念是构建知识网络的出发点，也是数学中高考考查的重点。概念是构建网络的出发点，充分发挥概念图在数学概念教学中的作用。概念图是一种用结点代表概念、连线表示概念间关系的图示法[18]。概念图由包含一个概念的节项目或问题及连接组成。连接被贴上标签并用箭头符号指示方向；被贴上标签的连接解释节点之间的关系，箭头描绘关系的方向。概念图是用视觉再现知识结构、外化概念和命题的一种方法。利用概念图进行教学，有利于促使学习者思考概念之间的关系和联系，更清楚地理解材料的意义。
& 图示1：三角函数
第二：巧用心智图像。数学的语言是由一些符号和记号组成的语言，用符号表示数学对象；用符号表示思维中的推理线索等，其中构建心智图像就是一种行之有效的符号处理技巧[19 ] 。心智图像是一种意念中的形象，或者说是心理中的图象，它是具有某种程度抽象的、模式化的模糊的形象。例如，当看到& 有两个相异实根&的信息，就会在头脑中建立一个抛物线与 轴有两个交点的直观的形象；看到集合的交、并联想到&文氏图&的形象；看到&极限&；眼前出现的是无限延伸的越来越密上午点串，看到& ，联想到它表示的是动点（1， ）与定点（0，0）的距离；例如：我们在教学数列完全归纳法时，可以用多米诺骨牌形象说明。
另外我们还可以建立数学建模来解决一些难题：
如（1）若a﹥0,b﹤1则&&&&&
（2）若&& 为锐角，且 则
分析，如果从代数方面来证明这个不等式，则问题很棘手，则这时老师应引导学生根据数学的式子来建立合适的数学模型
略证：（1）构造正方形 如图&&&&&&&&& &&&&&
构造边长为1的正方形abcd并把它分割为四个长方形，b&&&&&&&&&&&&&&&&& c
oa+ob&ac, (当且仅当a= b时等号成立)
同理 （当且仅当1-a= b时取等号）
两式相加即得结论（当且仅当a= b=1/2时取等号）
（2）证法（1）建立长方体模型，根据条件特征，联想到长方体对角线与共点三棱夹角的余弦的平方和为1，可构造长方体abcd-a1b1c1d1，使ab=a,ad=b,aa1=c,于是&&
证法（2）建立比例式模型，不妨令
第三:改进提问方式，以点激网，发挥图式的潜在作用。构建知识网络的前提是展示知识& 形成过程。教学中应将重点放在知识的直接和间接的联系上，关注通性、通法，让学生积极参与概念的抽象过程、思想方法的产生与形成过程的讨论，通过精心设计提问方式、层次，以点激网，发挥图式的潜在作用，培养整体意识，克服机械分割。 例如：师：中学里数学的思想方法有哪几种： 生：主要有数学思想：函数与方程的思想（非函数方程问题转化为函数方程形式，并运用函数方程的有关意义、性质去解决问题）。 师： 数形结合的思想（根据数的结构特征、构造出与三相适应的几何图形，并利用形的特征和规律，解决数的问题或反之）。
&&&师：分类讨论的思想（根据数学对象的本质属性将对象区分为不同种类，然后按类逐一进行运算，从而得到解决整个问题的目的）。
&师： 转化、化归思想（在解决数学问题时直接将不易解决的问题转化成新的相关一些问题或熟悉的问题去加以解决）等。
师：数学方法：分析法、综合法、归纳法、换元法、定义法、构造法、对称法、整体把握法等等。
在各个具体数学内容中又有各种具体的思想方法，例如在求轨迹时有直接法、转移法（或叫代入法）、参数法、定义法等。
4．6强化认知发展体验
（1）数学即解题，波利亚早在《怎样解题》给出解决问题的4个步骤，即理解题目&拟订方案&执行方案&回顾反思、概括和总结[ 20 ]。回顾自己的认知过程和解题过程是培养元情感的良好途径。就是让学生知道如何去分析问题，借助数学问题在明确的自我意识支配下解决问题，提高数学成绩。
（2）老师引导学生在简单模仿，反复训练，自发领悟的基础上，增加一个&自觉分析&的环节，我们主要引实验班教师通过抓住6个要点深入分析解题过程①看解题过程是否浪费了更重要的信息，以开辟新的解题通道；②看解题过程多走了哪些思维回路通过删除，合并来体现简洁；③看是否用更一般的原理去代替现存的许多步骤，提高解题的观点和思维层次；④看否可以用一个更特殊的技巧去代替现存的常规步骤；⑤看解题过程中哪些实质性步骤，抓住这一步既可简化过程又可迅速推广；⑥还要看到，分析解题过程时，结论也是已知信息这会使我们对题目认识更深刻和全面[ 21]。
（3）加强数学知识的熟能生巧， 数学是思维的科学，用数学的思维去解题，训练掌握数学题的常见思想和常用方法，近年来，数学思想，方法已直接作为考题考点的知识点，数学是思维的科学，不仅要善于解题，而且要掌握具体问题中渗透的本质内容，发掘出更高层次的规律，方法，即通过一个数学问题（或知识点）学习，把它升华为一类问题共性，数学学科具有高度抽象性和系统性，老师要引导学生将问题总结，反思，评价，通过反思，使新知识与学生头脑中原有的旧知青识建立逻辑性的稳固联系，从而形成新的认知结构，同时通过反思，不仅可以梳理在学习过程对知识理解程度，还可以评价自己在认知加工过程所闪现的思维火花，领悟其中的数学思想[22]。
第五章&& 数学课堂教学案例与分析
《平 面 动点 的 轨 迹》
一、教学重点与难点
教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹
教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡
二、教学方法和手段
【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。
【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的兴趣。
【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式&创设情境、激发情感、主动发现、主动发展&。
三、教学过程
1、创设情景，引入课题
师：生活中我们四处可见轨迹曲线的影子
生：天体运行，流星，光照
师：【演示】这是美丽的城市夜景图
【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线，
研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多
【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线
设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹
曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。
2、激发情感，引导探索
师：靠在墙角的梯子滑落了，如果梯子上站着一个人，我们不禁会想，这个人是直直的摔下去呢？还是划了一条优美的曲线飞出去呢？
师：我们把这个问题转化为数学问题就是新教材的例题1；
师：首先我们来看一道简单题：
例1、线段 长为 ，两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，求线段 的中点 的轨迹方程。
第一步：让学生借助画板动手验证轨迹
第二步：要求学生求出轨迹方程
法一：设 ，则
法二：设 ，由 得
法三：设 ， 由点 到定点 的距离等于定长 ，
根据圆的定义得 ；
第三步：复习求轨迹方程的一般步骤
（1）建立适当的坐标系
（2）设动点的坐标m(x,y)
（3）列出动点相关的约束条件p(m)
（4）将其坐标化并化简，f(x,y)=0
其中，最关键的一步是根据题意寻求等量关系，并把等量关系坐标化
设计意图：在这里我借助几何画板的动画功能，先让学生直观地、形象地、动态地感受动点的轨迹是圆，接着要求学生求出轨迹方程，最后师生共同回顾求轨迹方程的一般步骤，达到熟练掌握直译法、定义法，体会从感性到理性、从形象到抽象的思维过程。
3、主动发现、主动发展
师：由上述例1可知，如果人站在梯子中间，则他会划了一段优美的圆弧飞出去。学生很自然就会想，如果人不是站在中间，而是随意站，结果会怎样呢？让学生动手探究m不是中点时的轨迹。
第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹（教师有意识的整合在一起）
设计意图：借助数学实验，把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生，让学生自己在实践过程中发现疑问，更容易激发学生学习的热情，促使他们主动学习。
第二步：分解动作，向学生提出3个问题：
师：问题1：当m位置不同时，线段bm与ma的大小关系如何？
师：问题2、体现bm与ma大小关系还有什么常见的形式？
师：问题3、你能类比例1把这种数量关系表达出来吗？
第三步：展示学生归纳、概括出来的数学问题
1、线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。
2、线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。
3、线段ab的长为2a，两个端点b和a分别在x轴和y轴上滑动，点m为ab上的点，满足 ，求点m的轨迹方程。（说明是什么轨迹）
第四步：课堂完成学生归纳出来的问题1，问题2和3课后完成
4、合作探究、实现创新
改变a、 点的运动方式，同样考虑中点 的轨迹，教师进行适当的指导（这里固定a点，运动b点）
学生主要列出了以下几种运动方式：圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且得出了一些相应的轨迹。
5、布置作业、实现拓展
1、把上述同学们探究得到的轨迹图形用文字、符号描述出来，（仿造例1）,并求出轨迹方程。
2、已知a（4，0），点b是圆 上一动点，ab中垂线与直线ob相交于点p，求点p的轨迹方程。
3、已知a（2，0），点b是圆 上一动点，ab中垂线与直线ob相交于点p，求点p的轨迹方程。
4若把上述问题中垂线改为一般的垂线与直线ob相交于点p，请同学们利用画板验证点p 的轨迹。
以下是学生课后探究得到的一些轨迹图形
教学感言：课后有学生问，如果x轴和y轴不垂直会有什么结果？定长的线段在上面滑动怎么做出来？
可以说，学生的这些问题我之前并没有想过，给了我很大的触动，同时也促使我更进一步去研究几何画板，提高自己的能力。在这里，我体会到了教师不再只是一根蜡烛，更像是一盏明灯，在照亮别人的同时也照亮自己。
以下是x轴和y轴不垂直时的轨迹图形
（二）教学分析：
本课例以构建数学横向问题系统，构建知识网络，实现认知结构的整体优化。同时课例也构建纵向问题系统，采用螺旋性上升问题，通过剖析新知，有效利用几何画板，得出几种特殊高中常见的圆锥曲线，有效的使一个问题一个问题系统的解决了，通过老师启发引导，让学生去&提出问题&分析问题&解决问题&反思问题&让学生在学中思，在思中做，在做中悟。
第六章&& 实验设计、实施和调查
6.1& &实验设计
1采用单因素实验设计，因素（自变量）是数学教学中问题系统模式与解决程式，因变量是不同水平学生数学解题能力的提高，元认知开发和认知训练的效果，具体做法，由本人教学高三（七），采用传统的教学方法；高三（九），采用构建数学问题系统，并加强对数学元认知的训练方法，然后通过期中考试和期末考试得分比较，同时并进行调查学生的数学思维状态。
&& &&2统计分析，采用t检验进行数学分数与数学思维状态分析，并进行不断修正，促进不同认知水平的学生发展
3& 全校期中考试（前测）与期末考试（后测）数学试卷得分情况
6．2& 实验数据分析：
6．2．1对数学学业成绩考查的数据分析
对2个班的期中考试（前测）与期末考试（后测）数学成绩分别进行了前后测比较，见表1，结果表明实验组1和实验组2的前后测成绩都有显著差异（p＜0﹒05）后测成绩显著高于前测成绩，并且高三（九）构建数学问题系统，并加强对数学元认知的训练方法，较高三（七）有更显著的差异，而对照组前后测成绩差异不是太显著（p＞0.05）由于可以推测出。
&表 1：两组被试的数学学业成绩前后比较（m+sd）
组别&&&&&&&&&&&& 期中考试&&&& 期末考试&&&&&&&&&&& t
高三（七）班&&&&&&&&& 93.31+32.42&&&& 100.72+27.42&&&& --0.52*
高三（九）班&&&&&&&& 94.67+31.08&&& 103.03+23.54&&&&& --2.06*
&& 注：*表示p&0.05&&& **表示p&0.01&&& ***表示p&0.001& 以下同表
表2：高三（七）与高三（九）在各分数段的人数比较
高三（七）班（期中）
高三（七）班（期末）&&&
高三（九）班（期中）
高三（九）班（期末）
表3：具体项目得分情况表
（选择题）
（填空题）
ⅰ，经过第一轮复习后,除19题（数列）外，其他知识点学生掌握情况较之第一轮均有所提高，尤其是解析几何部分的进步更为显著.
(2)客观题、三角函数、数列、概率统计、数列等知识学生已经掌握得比较好，基本具备了相应的能力.
(3)学生学习的主要困难，还是在于立体几何、解析几何以及数学综合题.
(4)整份试卷难度适中说明这两题优生与差生水平差异明显，表现出较高的鉴别力.
ⅱ.学生分析
两次大型考试反映出绝大部分学生基本功扎实，成绩是可靠的.经过第一轮复习后，成绩普遍有了长足的进步，但也存在着一些问题。
(1) 数学学习问题1：数学思想方法须梳理
　　高三的同学应有意识地运用数学思想方法去分析问题解决问题，通过近几年的高考试题可以看出试卷主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查。常用的数学方法：配方法、消参法、换元法、待定系数法、坐标法等等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、归纳与演绎等；常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想等。数学思想方法是数学的精髓，它蕴涵在数学发生、发展和应用的全过程中，对它的灵活应用是数学能力的集中体现。
（2）数学学习问题2：运算能力不到位
　　运算能力不到位也是期中考试反映出来的一个重要问题。运算能力是在掌握运算技能上发展起来的，主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、推理等。学习数学反对死记硬背，但并不排除对所学知识的记忆。比如：三角函数中的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角公式、万能公式等等。再如：立体几何中的一些公理和定理，很多同学不愿花时间去记忆，使得解题速度缓慢或用错公式、定理，从而导致运算准确率下降，时间来不及。如果你觉得自己数学学得还不错，但总也考不好，是否从这方面好好地找原因。因为有思路并不代表你能算对，不仅要会做，而且做法力求简洁、节约时间，强大的运算能力是拿高分的重要保证。
　　（3）数学学习问题3：平时练习太浮躁
　　二次考试反映出来的另一重要问题，也是高三同学一直需要面对的问题：心理素质问题。心理素质是适应环境，赢得学习、生活和事业成功的必要条件。因为数学的抽象性，所以数学学习经常伴随着困难，著名的数学教育家波利亚说过：&如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。&数学为磨练意志和提高耐挫力提供了绝好的平台。高三的同学要在体验挫折和失败的过程中，形成百折不挠的良好的心理素质。
　　有的同学觉得自己已经做了很多题目了，为什么还是考不好？高三时间紧迫，学生的心态急躁，想在最短的时间做最多的事，许多题目没有做完整，只是一个大概的思路，还许多题目是参照答案做的，以为自己弄懂了，却不是真正意义上的掌握，这也是一个很大的问题。要想解决这个问题，首先要摆正心态，把平时的一些基本题做到位，能自己独立完成，并且自己能把答案算准确。平时题做错了，哪怕只错了一点点，不要轻易放过，这些后遗症留下来，以后全是陷阱，自己挖的，不易发现，会造成很多思维障碍。所以做得多不如想得多，多进行解题的回顾、总结和反思，能够举一反三，重视&一题多解&和&多题一解&，重视思维过程。数学的&核心能力&是思维能力，只有经过自己认真思考的东西，才能真正掌握，从而纳入你的知识结构中去。
　& 总之,虽然存在很多问题，但我们只要认真总结，反思。就可以得到更大的进步，可喜的通过对两次大型考试成绩的分析,表明在第1轮复习&夯实基础，培养能力，关注改革&思想的指导下有效提高了学生成绩。
6．2．2 数学&问题解决&思维前后调查问卷分析
根椐数学&问题解决&思维的六个指标（思维目的；过程、材料或结果；监控与自我调节；思维品质；思维的认知因素与非认知因素），结合教学实验，我们删除监控与自我调节，采用五个指标。
（1）思维目的方面：解题的预见、目标指向性过程方面，由4题项组成；（2）思维过程方面：数学思想的方法选择及类型判断，由4个题项组成；（3） 思维材料或结果：即图形图像等多种手段表征、考察 ，由5个题项组成； （4）品质方面 ： 一题多解及将问题推广引申，由6个题项组成；（5）非认知因素：即解题受阻时的毅力、态度，由5个题项组成；&&
我们共选编了24道题，采用5点评分，按&从不这样&&很少这样&&有时这样&&经常这样&&总是这样&5种情况，依次记为1，2，3，4，5分，其实验目的考察学生数学思维品质，特别是思维的灵活性，深刻性的发展情况。运用spss 13软件对相关数据进行统计分析。本研究采用独立组前后测实验设计。
表4： 数学思维二个班差异性比较
&&&&&&& &&&&&f&&&& sig&&&& t&&&& 显著性概率&&& 均差值&&& 均值标准误
方差齐性&&& 5.24&& 0.02&& --4.16&&&& 0.000&&&&&&& --9.89&&&&& 2.37
方差不齐性&&&&&&&&&&&&& --3.81&&&& &0.000&&&&&&& --9.89&&&&& 2.45
以上结果表明，经过一个学期的强化训练，与对照班的学生相比，实验班的学生在数学思维的灵活性、深刻性方面有明显提高，解题的预见性、目标指向，方法选择性，一题多解及举一反三能力得到增强。这也说明&通过构建数学问题系统对高中生元认知的训练，尤其对高三系统复习取得很大的作用&。
表五：高三（七）与高三（九）思维具体情况对比
思维内容&& 测题要点归纳&&&&&&&&&&& &&&&&平均分&&&& 差值&&& 超出
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&高三（七）班 ，高三（九）班 &&&&&&&百分比&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
目的方面&&& 解题的预见、目标指向性&&&&&& 3.18&&& 3.27&&& 0.29&& 9.11&
过程方面&& 方法选择及类型判断 &&&&&&&&&&&3.31&&& 3.89&& 0.58&& 17.5
材料或结果 图形图像等多种手段表征、考察&& 3.29&&& 3.32&& 0.03&& 0.91
品质方面 &一题多解及将问题推广引申&&&&& &3.09&&& 3.49&&& 0.40&& 12.9
非认知因素&& 解题受阻时的毅力、态度 &&&&&&3.25&&& 3.89& &0.64&&& 19.7
为了进一步了解实验对于学生思维状况与的改善程度，我们将问卷算出了高三（七）班与高三（九）班每一题的平均分，在此基础上得出两者在每道题的差值，确定了差异值的高分组（分值＞0.7）题分别是第4题（在求解问题时，我会先问自己：已知条件是什么，结论是什么？要获得结论还需要哪些条件，如何才能得到这些条件？）第14题（解完数学题后，我一般不会去总结解题经验？）
第21题（解完数学题之后，我会考虑：这个解题方法能够用来解决类似的问题吗？）。这说明学生已经对提高了，理解题目&&回顾反思、概括和总结。这也说明实验构建数学问题系统教学与&问题解决&四步程式可以对学生数学&问题解决&思维的深刻性效果十分显著水平，从而激发了学生的学习兴趣。笔者教学中常要求学生在考试解题遵照&五部曲&其一：审题要慢，做题要快；其二：先易后难；其三：以快以上，立足中下；其四：书写认真，分段得分，其五：大胆设立，大胆猜测。在调查中得知部分同学，他们能够从题目中抓住主要问题，对问题有个整体把握，然后再从细节化，解答针对性问题，解题的指向很明确。
6．3结果分析与讨论：
6．3．1实验教学对数学学业成绩提高的促进
实验结果表明，接受了数学的两个实验组，学生数学前后测成绩都有显著提高，两个实验组学生数学成绩提高更明显，这反映构建数学问题系统，并加强对数学&问题解决&的训练方法的教学对高中生数学学业成绩提高具有显著促进作用其主要原因有几下几点：
（1）创设数学生活问题情景。兴趣是推动人们认识事物，探究真理的重要动机，是个体活动中形成的对某项活动或某种事物产生喜欢的爱好的心理倾向，兴趣可以使人对感兴趣的事物或活动产生巨大的积极性，推动人们去认识该事物或从事该活动。同是获得某种愉悦的情感体验，可以说兴趣是最好的老师。而培养学生兴趣的教学应从老师合情合理的建构数学生活情境开始，采用启发式教学，增强教学的艺术性。通过创设问题情境，引起学生的注意与探究。教师抓住时机，因势利导，进行恰当点拔，使数学活动尽可能丰富，有趣，富有感染力，调动了学生积极性。
（2）抛锚式教学与情境相结合。个教师以学生的发展为中心，力求让学生充分发挥主观能动性，通过积极思考，自主探究，合作学习，真正理解并掌握基本的数学知识、能力、思想方法，善于提出问题并运用所学知识解决问题，学业成绩得到大幅提高。
（3）建构知识网络图式策略。知识网络中，每一点知识与其他知识总有千丝万缕的联系。这需要教师在教学中注意讲清每个具体的概念、规律，以及它们的来龙去脉，发展引伸和联系，从而避免教给学生的知识是孤立、零散的，以便学生建立起完整的知识结构，在解决问题时能触发联想，综合运用知识，最终找到解题的途径。另外，知识分为陈述性和程序性两方面。对程序性知识的大量研究表明，程序性知识的学习和建构是提高问题解决能力的重要举措。但由于程序性知识常处于一种隐性地位，因此常被教师忽视，而只是把&是什么&、&怎么做&当作知识，而不把程序性知识中的&为什么&及策略性知识当成知识。这需要教师转变教学思想，改进教学方法，从陈述性知识的教学转变为与程序性知识并重的教学，所以这就要求设置好开放性的问题模式。
6．3．2实验教学对学生数学&问题解决&解题情感的促进
&&& 数学实验教学实践研究启示：结合数学学科内容，精心创设问题情境，引导学生去观察，思考与发现；不急于回答学生提出的问题，留给足够的思考时间与空间，激发学生学习数学的兴趣，本实验教与学训练，情境与情感相结合，使数学的抽像变为具体，让教学成为一种动态教学，要求被试&出声思维&发现优生的言语活动并能进行自我调节，国内一些学者如齐建芳教学结果一致。齐建芳将计划，执行，检查，补救，总结和反馈作为训练的主要内容，并辅之学习策略的指导，显著地提高了学生的自我监控能力，提高数学学业成绩。
通过实验，我们发现实验班的学生已经掌握了一些&问题解决&知识和策略，提高了自我意识和自我监控的能力，这说明任何学生都具有形成&问题解决&能力的潜能，。问题是这种潜能能否表现出来，能否为培养高层次能力&&解决实际问题能力和创造能力服务，这关键要看教师是否重视了数学问题系统构建。目前，越来越多的教是已意识到教学必须突出学生学习的主体地位，要由教师被动的&教&变为学生主动的&学&，那么，如何实现？实现的最终目标又是什么呢？这正是教师们感到迷惘的地方。在实现中我们发现，实验班的学生大都具备了主动学习的意识和精神，这也充分说明构建数学问题系统，加强数学&问题解决&训练是实现&教&转变为&学&的桥梁，感觉到数学解题中成就感，从而培养了数学解题的情感。
6．3．3实验教学对数学&问题解决&思维的促进
我们对实验组1的学生进行构建数学问题系统，加强数学&问题解决&训练，并在实验前后分别从思维目的，过程，材料或结果，思维品质，思维的认知因素与非认知因素等5个指标进行调查。培养前后学生的学习思维目的方面与材料或结果并未发生显著变化，但学生关于学习的品质方面，非认知因素变化却十分明显，特别是非认知因素，前后差异均有显著水平。因为构建数学问题系统，加强数学元认知训练的数学教学立足于学生的数学现实，立足于问题，立足于学生多样化和长远的发展，促进了学生的建构性学习，使各层次学生均有大量的实践机会和成功的体验，从而使他们迸发出强烈的求知欲、高涨的学习热情、浓厚的兴习趣，有利于完整把握知识结构，灵活运用数学思维进行解题，提高数学成绩。
波利亚教学法和数学思维教学法最精妙的一条是：要求中学生和中学教师，从自已思维的第一秒开始，就记住思维过程，特别是要记住由失败到成功的转折，由部分成功到完全成功的修正，重要思维方法的使用，重要应急措施的出台&&思维一结束，就尽快整理描述和实现整个过程。我们在实验过程中，教师从&分析题意、拟订计划，执行计划，反思回顾&来引导学生对&问题解决&的训练。我们的研究表明，&问题解决&对解答低难度数学问题没有显著影响，对解答中、高难度问题以及开放性问题有显著影响。这是因为，解答简单的问题，由于有现成的解法或基本模式，认知因素中的能力成分介入活动较少，从而对认知起监控作用的元认知不能起到较大作用，而解答中、高难度的问题的过程，需要进行深入思考，数学能力因素就显得尤为重要。
6．3．4实验教学对教学效益的促进
教学效益：教育教学要讲效益，即要讲在相同时间里投入相同的人力、物力、财力而达到的效率的高低。
只有保证课堂教学取得一定的教学效益，我们才能实现课堂达标，进而最终实现提高教学质量的目的。
学生的学习时间是宝贵的，《学会生存--教育世界的今天和明天》指出：&在节约教育方面，再没有比不浪费学生的时间更有成效的了。& 在通常情况下，教学效率的高低，决定着教学效益的大小。有效教学时间越多，教学效率就越高。教师在教学中一定要处理好有效时间与无效时间的关系，处理好教师主导时间与学生主体探究时间的关系，提高教学效益，在本实验教学中做到以下二点：
1.纵向，合理安排每个环节时间。时间如流水，一去不复还。要统筹兼顾，科学安排每一节课40分钟的教学时间。例如在教学案例《平面动点的轨迹》，将整节课分为三个教学环节：①自主探究学新知（用24分钟）。其中&数学问题关于中点与非中点的轨迹&&用8分钟，&探索改变a，b的运动方式&用14分钟。②实践应用促内化（用14分钟）。③总结回顾求提升（用2分钟）。实践证明以上每个教学环节的时间安排比较科学、合理。
2.横向，合理协调学与导的时间。每节课的教学时间是一定的，如果教师讲的时间多，那么学生学的时间就少，反之亦然。在课例教学过程充分体现了学为主体、教为主导的理念，课堂中师生活动的时间比大约是1：3。&探索数学问题点的轨迹&环节，教师采用启发引导的方式，让学生&初步感知（引出等式）&积累感知（自写等式）&概括规律（发现秘诀）&构建模型（符号表示）&感受价值（应用检验）&。&数学点a，b改变运行方式&的环节，教师采用引导探究法，让学生小组合作学习，运用前面的学习方法自主探究加法结合律，学生经历了&探究新知&利用几何画板，找出规律&列出轨迹方程&解题反思&的过程 。&实践应用促内化&环节，教师引导学生独立思考，并进行画龙点睛式的讲解。整节课学与导的时间协调、合理，重点突出，详略得当，教师教得轻松，学生学得扎实。
3.深度，有效利用教学时间。课堂教学质量的高低，要看时间的利用率。教师应把每一分钟都用到让学生有效经历学习过程，有效突破学习重难点这个&刀刃&上，做到：教学时间没有在烦琐的讲解中流失，没有在毫无意义的提问中流失，没有在不合理的教学活动中流失，没有在不熟练的教学技能中流失，没有在整顿课堂秩序中流失。那么，有效教学时间就多了，教学效益也高了。
第七章&& 对实验教学的评价和结论
7．1 实验教学中的几点注意
从前文对实验教学过程的分析中，我们不难看出该教学模式也有需要注意的地方，主要表现在以下几方面：
（1）构建数学问题系统，加强对教学的另一个重要特征就是学生需要在教师的引导和支持下进行合作学习。处理好小组内部的互动和小组间的交流是该教学模式的重要环节。但我国现在的班级规模一般都在40-50人左右，多的达到60人，按照合作学习5人一组的一般标准，一名教师就要同时担当10多个小组的引导者和支持者，这对任何教师都是一个巨大挑战，需要教师具有高度的应变能力和教学监控能力。另外，在有限的课堂时间内，既要充分展开学生的思维和交流活动，又要完成教学大纲的计划，这也是一件很不容易的事情。因此如何将同一类型的课程的课前、课中和课后活动融合，以及将跨学科知识的整合以及课后内外的整合，也是实验教学中有待研究的问题。
（2）从某种程度上说，实验教学是问题解决的研究成果在现实教学实践中的检验和应用。构建数学问题系统，对&问题解决&的思维训练对学生数学成绩和解题能力的提高起促进作用，&问题解决&各个维度的改变并不同步，计划和反思策略更容易被多数学学生接受并运用到解题中，但这是一个现实生活中，问题总要随着环境的变化而变化，一个实际问题的解决并不是终点。因此教学不但要让学生解决问题，而且还应使他们思索并进入更深的问题。
（3）在问题解决的研究中心理学家主要从认知的角度研究了问题的结构、表征，专家知识在问题解决中的作用等，较少讨论非认知变量如成就动机、自信心、合作意识、情绪调控能力、人际沟通能力、挫折耐受能力、有关自我的知识等人格因素和社会因素对问题解决的影响。但在教学实际中，这些非认知因素都会影响到学生解决问题的动机、进程和坚持性，因此未来的问题解决教学应更加注重学生的综合素质考察。
7．2实验教学的结论
数学是数学问题的科学，是数学问题提出与解决的科学，同是数学又是人类悟性的自由创造产物，数学问题的提出与解决就是数学创造的成果，因此，数学的本质是创造或创新，所以，我认为教数学就是要教数学的创新精神，展示数学创新的思想与方法，传授数学创新的事实；学数学就是学数学的创新观念，掌握数学的创新的知识。数学问题产生于数学情境。数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。人们通过对数学情境中数学信息的观察、分析、产生疑虑、困惑，逐步发现、形成问题。因而我们在实施构建数学问题系统，加强对数学&问题解决&的训练，在获取数学知识的同时体验数学知识形成与发展的过程，有利于提高学生数学问题的解决。
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