最让人纠结的等式：0.999...=1 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
最让人纠结的等式：0.999...=1
最简单最纠结的数学公式得证明，0.999...循环等于1吗？
0.999... = 1 吗？此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，数学家们都是怎么来看待这个问题的。
最简单的“证明”
最简单的证明是这样的：1/3 = 0.333...，两边同时乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等于 1 吗？》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托（David Tall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。
另一个充满争议的证明
大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：
令 x = 0.999...
所以 10x = 9.999...
两式相减得 9x = 9
所以 x = 1
威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性??他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”
逐渐靠谱的证明
等比级数具有这么一个性质：如果 |r|
那么我们就又有了一个快速的证明：
这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的要素》（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 10＝9.999... 。
之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：
1846 年，美国教科书《大学算术》（The University Arithmetic）里这么说：在 0.999... 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》（Arithmetic for School）则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。
随着人们对实数更加深入的理解，0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在《实分析引论》（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证明：给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999... = 1。
弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗？》里则用戴德金分割给出了一个证明：所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... （因而小于 0.999... ），这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999... = 1 。
格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。
从未停止过的讨论
尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托（Pinto）和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。
在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点：从 π 的小数点后 762 位开始，出现了连续的 6 个 9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是 9，这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点（Feynman Point）。
你可能感兴趣
古生物学博士生，科学松鼠会成员
”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……
确实哦，0.9999....代表的是一个过程，代表的是无限接近1，这个过程不能停下来，一旦停下来，就成了有限的接近1。
医学博士，科普作者，外科医生
作为数学白痴，我早就被1/3那个证明说服了
显示所有评论
全部评论(419)
古生物学博士生，科学松鼠会成员
看到"最受欢迎的运动" 笑了……记得我第一次琢磨这个问题是在初三，被数学老师的1/3理论说服了……后来等比级数的貌似也见过。上高数的时候区间套又接触了一次。9x、柯西序列和戴德金的都没见过……（坑爹的高数根本不讲戴德金，我都忘了在哪学的了……）
医学博士，科普作者，外科医生
作为数学白痴，我早就被1/3那个证明说服了
药学博士生，计算机辅助药物设计
话说以前也想过的，并且始终想不通总会觉得有一个0.0……1和0.999……相加才能是1所以我更倾向于去相信，这是一个过程和结果的比较，不是同一个东西，就不能用来比较但又一想，确实找不到一个比1小又比0.999……大的数不是么总之这是个非常让觉得纠结的问题
软件工程硕士
也就只有死理性派才会探讨这个了 :-D
古生物学博士生，科学松鼠会成员
”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……
1.如果借助第三个数来进行验证好像是比较不出差别，但这样就可以说明1和0.999....两者间相等了吗？2.“所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999...”这个好像有点问题吧? 这个说法是建立在0.9999....=1的基础上的，而现在又用来证明0.9999.....=1， 不会成为循环论证吗？ 如果不知道0.9999.....是否等于1， 则所有小于1的有理数就有可能包括0.9999.....了。
引用 Ent 的回应：”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……但是这是对于“等于”的定义吗？两个数间放不进东西只能证明无限贴近，但不代表重合吧？
确实哦，0.9999....代表的是一个过程，代表的是无限接近1，这个过程不能停下来，一旦停下来，就成了有限的接近1。
这世上总是有很多像1L那样的装逼犯....我通常把脑残的人和这种装逼的化为一类人，统称为...算了...不吐槽了
纠结的数字
那么1-0.99999……后面会有0.0000……00001吗？
无机化学硕士生，DIY爱好者
“x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间（比如x和y的算数平均数），而0.999...和1之间显然插不进新的数了。 ”这个赞唉
环境工程硕士
无限趋近就是相等吧~忘了高中学极限的时候是怎么推导的了~
我只知道我看得头痛了。
很同意这个说法引用 Derek.Ye 的回应：也就只有死理性派才会探讨这个了 :-D
数学盲路过首先想到的是物理上的“测不准原理” 数字“1”本身 并不是个绝对的量 一只苹果叫1 一堆苹果也叫1
没有“1”这个基准 所谓的0.99999......也不会有意义 就像用一把尺去度量它自身的长度 另外，在1=0.999.....的基础上 就有1-1=1-0.999...... 即0=0.00......1 ，这是不是有点像道家的“无中生有”？
确实很纠结
引用 Ekoms 的回应：M67那里有个很简单的证明：x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间（比如x和y的算数平均数），而0.999...和1之间显然插不进新的数了。恩，加一句著名数学Geek Matrix67曾于半夜偶得一解
除了戴德金分割那个其他上课时都见过，还是觉得0.99999.....和1不等。。。
1/3理论...
我茫然了...
感觉到后面都直接用实数完备性的定义在证明了。。否认0.999...=1就是否认实数的完备性吧。。
我纯洁的笑了
ε-N定理啊，很好证明
理论物理博士，科学松鼠会成员
费曼这个坏蛋！
然后呢，我一直在纠结这个问题…………
1-0.999...=0,而不是0.000....1因为0.999...是无限循环小数，9没有尽头，也就不存在所谓“无限个零后面有个一”，就是0.000...=0
引用 Ekoms 的回应：M67那里有个很简单的证明：x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间（比如x和y的算数平均数），而0.999...和1之间显然插不进新的数了。这里的0.999...应该理解为一个趋势（一个无限接近1的趋势）不是一个数。0.999... = 10.999...理解为一个趋势（一个无限接近1的趋势）0.999... ≠ 10.999... 为0后面有有n个9的话n为正整数，n→∞且不存在n+1，且∞定义为不存在比∞大的数。前面几个证明很容易就可以给出反证例如：a=0.999…=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……9*10^(-n+1)+9*10^(-n)10a=9+9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)10a-a=9a=【9+9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)】
-【 9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n+1)+9*10^(-n)】9a=9-9*10^(-n)a=9a/9=【9-9*10^(-n)】/9=1-10^(-n)=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……9*10^(-n+1)+9*10^(-n) 重点就是0.999....是看做一个数还是一个趋势
从来就没明白过
别纠结了因为
1/3 = 0.3循环是错的！1/3≈0.3循环所以 1≈0.9循环
显示所有评论
(C)2015果壳网&京ICP备号-2&京公网安备||||||||||||||||
您的位置：&&&&&&& 正文
纠结，在大学里究竟该学什么？
　日　　来源：中国教育新闻网―中国教育报
华中科技大学一名博士生BBS帖文引热议――
纠结，在大学里究竟该学什么？&
　　从背起行囊外出求学的第一天起，每年都有数百万中国大学生走入大学。然而，让很多大学生的内心普遍感到纠结的是，在浮躁的社会生活背景之下，大学生在校期间究竟该学什么？如何度过短暂的大学生活？
　　9月6日，华中科技大学光学与电子信息学院2010级博士生刘昆陇顺利通过了博士毕业答辩。当天，他在该校白云黄鹤BBS上发帖，回顾了自己从最初的迷茫到坚持理想、不断收获的8年求学经历。
　　在帖文中，刘昆陇分享了自己从本科到保研到转博的心路历程――“只要愿意做，然后付诸行动，一步一个脚印，坚持住，努力过了总会有惊喜。”该文甫出，立即引发该校师生和校友的热议。截至记者发稿时，这篇充满正能量的帖文浏览量达6000余次。
　　读专业，学非所愿，理想就此按下暂停键？
　　大学录取时对部分考生进行专业调剂，是常有的事儿。但面对高考志愿之外的“突然安排”，不少刚刚走入大学的学生及其家长往往会有一种挫败感。
　　对于这种广为流行的社会心理，刘昆陇在帖文中说：“8年前，我在高考报志愿时，填了华中科技大学电子科学与技术专业，可惜最终被调到应用物理学专业。刚开始心里很排斥，不是讨厌学物理，而是因为没有读到自己想读的专业而很不甘心。当时很想转专业，后来也尝试过，但没转成功，顿时觉得人生一片惨淡。失落好几天后，生活和学习才回归正常。我想，好好学习，考个好成绩，永远不会错的。到了大四保研，我如愿被保送到一工科专业硕博连读。但发现，研究生的学习和生活跟自己想象的完全不一样，于是又很排斥，并且再次感到很失落。不过，最终我还是选择了读博，并经过艰苦奋斗了差不多一年，我终于完成了第一篇论文。这篇论文让我重拾信心，并且成了自己博士生涯的转折点。”
　　读完刘昆陇的帖文，华中科技大学经济学院2013级硕士生姚博文表示：“帖文充满正能量，让我深刻感受到严格自律、沉心专注的学习、科研态度。回想当年我复读时的心境，与学长何尝不是一样？作为研一新生，我也有一些心浮气躁，认为自己不是做科研的‘料’，为新环境感到心神不宁。但学长的文章却给了我启发：只要脚踏实地，勤勤恳恳，沉下心来，就没有做不了的科研，与其怨天尤人，不如努力去寻找属于自己的宝藏！”
　　在大学，少抱怨少折腾多努力
　　对于众多曾是各地学习成绩拔尖的佼佼者们来说，初入大学，各路高手云集，以及对大学新环境所产生的陌生感、曾经光环不再的恐慌感，难免会让不少学生倍感失落。在失落的情绪环绕中，是按下理想的暂停键，还是以快进键将自己带入大学，这是不少学生所面临的共同难题。
　　对于困扰当今大多数大学生的这个心结，刘昆陇在帖文中称：“刚入大学的那个时候，我觉得奖学金、学生会、双学位都离自己很远很远。我清楚地知道，自己只是个普通的学生，我不是那些能拿全球比赛第一名的选手，也永远赶不上那些校学生干部的交际能力，所以我不奢望能像他们那样成为大家口中的牛人，但我知道，只要自己努力，获得奖学金是有可能的，当个班长为大家服务也是有可能的。当你自身变得越来越优秀时，这些东西自然就会来到你身边。”
　　实际上，刘昆陇的帖文表露的是一代青年学生共同的心声。在校园BBS的跟帖上，华中科技大学物理学院2008级博士生姚镇这样写道：“读博这条路不好走，路上充满各种荆棘坎坷；只是选择了，就勇敢地走下去，不用跟别人比，做好自己才是最重要的。在学习的路上，各种纠结总是客观存在的，关键在于能否放下自己的情绪，静下心来搞科研。遇到问题少抱怨、少折腾，调整心态，沉稳地面对，总会找到解决办法。”
　　在微博上，一位名为“Pingguozhi”的博友说：“我虽然远在北京，但被刘昆陇帖文中所流露出的正能量感动。同走在科研这条道上，不论在大学还是其他地方，只要踏踏实实，走过的路就不会欺骗自己！”
　　搞科研，勤奋耕耘也要看效率
　　“一分耕耘一分收获。”这是刘昆陇8年大学生活的自画像。他说：“这虽是一句老话，但现在发生在自己身上才真正体会其含义。我的第一篇论文让我找回了很多自信，使我的大学学习生活进入到了良性循环，后来我陆续发了好几篇论文。现在，当别人在为论文发愁时，我在玩摄影；当别人在为毕业纠结时，我在旅行；当别人在吐槽补助还不涨时，我用奖学金补回了；当别人在和女朋友吵架时，还好我单身……虽然已通过答辩，但我还是会走在科研的路上，并且希望能走得更远。”
　　在日益喧嚣的大学，成功与收获眷顾的永远都是勤奋耕耘者。对于刘昆陇的“大学收获论”，该校能源学院副院长、博士生导师罗小兵教授认为，勤奋是科研最重要的基础。“有些学生说每天有10多个小时在电脑前。真正有效率的工作时间有多少？集中精力看文献、做分析、做计算、做实验、写总结和论文才是真正的工作时间。而事实是，很多研究生在电脑前用QQ聊天、逛网站浪费的时间是相当多的。今天的博士生需要快速学习能力。做科研的初期，学生应从阅读相关领域国际权威的核心文献开始。模仿重复别人工作的过程中要学会掌握必要的科研工具，同时结合课题尽快找到突破口，然后利用已掌握的工具来验证自己的想法。”（记者 柯进）
&&& 《中国教育报》日第2版
】【】【】【】【】【】
{　编辑：周玲玲　}
　　凡本网注明“来源：中国教育新闻网”的所有作品，版权均属于中国教育报刊社，未经本网授权不得转载、摘编或利用其它方式使用上述作品。 已经本网授权使用作品的，应在授权范围内使用，并注明“来源：中国教育新闻网”。违反上述声明者，本网将追究其相关法律责任。
　　凡本网注明“来源：XXXXX（非中国教育新闻网）”的作品，均转载自其它媒体，转载目的在于传递更多信息，并不代表本网赞同其观点和对其真实性负责。
　　如作品内容、版权等存在问题，请在两周内同本网联系，联系电话：（010）
细览版权信息