人教版八年级数学上册第十二章全等三角形全章教案_学习资料共享网
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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形全章教案
12．1 全等三角形 教学目标：1 了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质 3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学 生的几何直觉， 4 学生通过观察、 发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的 体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点：探究全等三角形的性质 难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程： 观察下列图案，
指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？ 这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形 叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改 变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。1“全等”用 ? 表示，读作“全等于” 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如?ABC和?DEF 全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作 ?ABC ? ?DEF 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对 应边，重合 的角叫做对应角 思考：如上图，12。1-1 ?ABC ? ?DEF ，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。 思考： （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、 对应边、对应角B C A o O A D B D CA C DC B DA B（2）将 ?ABC 沿直线 BC 平移，得到 ?DEF ，说出你得到的结论，说明理由？2ADBECF? （3） 如图， ABE ? ?ACD, AB 与 AC， 与 AE 是对应边， AD 已知： A ? 43 ? , ?B ? 30 ? ， ?求 ?ADC 的大小。ADEBC小结： 作业：P33―1，2，312．2 三角形全等的判定(1)教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点 三角形全等条件的探索过程．3一、 复习过程，引入新知 多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论： 全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相 等，这样的两个三角形一定全等． 二、创设情境，提出问题 根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢? 如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流 予以汇总归纳． 三、建立模型，探索发现 出示探究 1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与△A'B'C'， 满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC 一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形． (1)三角形的两个角分别是 30°、50°． (2)三角形的两条边分别是 4cm，6cm． (3)三角形的一个角为 30°，―条边为 3cm． 再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条 件时，都不能保证所画出的三角形一定全等． 出示探究 2，先任意画出一个△A'B'C'，使 A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝ CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC 上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论： 三边对应相等的两个三角形全等． 四、应用新知，体验成功4实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定 不变的． 鼓励学生举出生活中的实例． 给出例 l，如下图△ABC 是一个钢架，AB＝AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架，求证△ABD≌△ACD．A B D C让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：①以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C； ②分别以点 B、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D； ③画射线 AD． AD 就是∠BAC 的平分线．你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形 ABCD 分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．A B D C五、巩固练习 教科书第 37 页的思考及练习． 六、反思小结 回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思5想，掌握数学规律． 七、布置作业 1．必做题：教科书第 43 页习题 12．2 中的第 1、2 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 9 题．12.2三角形全等的判定(2)教学目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力． ②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简 单的推理． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点 指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点 应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动） 一、 创设情境，引入课题 多媒体出示探究 3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使 A'B'＝AB，A'C'＝AC， ∠A'＝∠A． 教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．6二、交流对话，探求新知 根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS) 补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对 边． 三、 应用新知，体验成功 出示例 2，如图，有―池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个 可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据． (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证 AB＝DE， 只需证△ABC≌△DEC △ABC 与△DEC 全等的条件现有??还需要??) 明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明 这两个三角形全等来解决． 补充例题： 1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE（已知）C7ABDE∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE AB=AC（已知） ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE（已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS) 思考： 求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC 变式 1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.A B求证：C F M⑴ △DAC≌△EAB 1. BE=DC 2. ∠B= ∠ C 3. ∠ D= ∠ E 4. BE⊥CDDE四、再次探究，释解疑惑 出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两 边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等．8教师演示：方法(一)教科书 39 页图 12.2-7． 方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论． 五、巩固练习 教科书第 39 页，练习(1)(2)． 六、小结提高 1．判定三角形全等的方法； 2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充， 让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构． 七、布置作业 1．必做题：教科书第 43 页，习题 12．2 第 3、4 题． 2．选做题：教科书第 44 页第 10 题． 3．备选题： (1)小明做了一个如图所示的风筝，测得 DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦? 并说明理由． (2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证 BC＝DE．12.2三角形全等的判定(3)9教学目标 ①探索并掌握两个三角形全等的条件： “ASA” “AAS” ，并能应用它们判别两个三 角形是否全等． ②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点 理解，掌握三角形全等的条件： “ASA” “AAS” ． 教学难点 探究出“ASA” “AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动） 创设情境 复习： 师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生： “SSS” “SAS” 师： 那除了这两个条件， 满足另一些条件的两个三角 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的 探究新知： 一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？ 1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究 5??”)10形是否 另一些条件。(1)探究 5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使 A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠ B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)． 把画好的△A'B'C'剪下， 放到△ABC 上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。 在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决． 生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决??)?? (2)全班讨论交流 师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步) 你是这样画的吗? 师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC 上，看看它们是否全等． 生：(剪△A'B'C'，与△ABC 作比较??) 师：全等吗? 生：全等． 师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现． 生 1：我发现?? 生 2：?? 生 3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA” ．至 我们又增加了―种判别三角形全等的方法．特E D C A A'等． 此， 别应注意， “边”必须是“两角的夹边” ．B练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求证：△ABE≌ △A’CD11A例1. 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 D 相交于点 O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BD=CEB OECDC2．探究 6 师：我们再看看下面的条件： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC 与△DEF 全等 吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?A B C E D F师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生独立思考，探究??再小组合作完成． 师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报) 小组 1：?． 小组 2：??投影仪展示学生证明过程 (根据学生的不同探究结果，进行不同的引导) 师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一 个什么规律? 生 l：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等． 生 2：在&ASA”中， “边”必须是“两角的夹边” ，而这里， “边”可以是“其 中一个角的对边” ． 师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边” ．那怎样更完整的表述 这一规律?12生 1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS” ，又增加了判 定两个三角形全等的一个条件． 强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边” ． 多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力． 例 2．教材 40 页 1 题。 师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段 所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究 7： (1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目) 师：想想，怎样来探究这个问题? 生 1：?? 生 2：?． 引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形” ，看是否一定全等，或“用两个 同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明． 师：这一规律我们可以怎样表达? 生 1：?． 生 2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等． (2)师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有 了哪些方法? 生：SSS SAS ASA AAS 小结提高 师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?13巩固练习 教科书第 41 页，练习 2． 布置作业 1。必做题：教科书第 44 页习题 12.2 第 6、11 题 2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块 碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合 适?为什么?⑵ ⑴12.2三角形全等的判定(4)教学目标 ①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角 形是否全等． ②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推 理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点14理解，掌握三角形全等的条件：HL． 教学过程: 提问： 1、判定两个三角形全等方法有： 创设情境： （显示图片） ，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角 三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. （1）你能帮他想个办法吗？ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. ⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相 等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。 新课： 已知线段 a、c(ac)和一个直角α ，利用尺规作一个 Rt△ABC,使∠C= ∠ α ， CB=a，AB=c. 想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α =90°; ⑵ 在射线 CM 上截取线段 CB=a ⑶ 以 B 为圆心,C 为半径画弧，交射线 CN 于点 A; ⑷ 连接 AB.15，，，。(ASA)或(AAS)⑴ △ABC 就是所求作的三角形吗？ ⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS， 还有直角三角形特殊的判定方法――“HL”.例 如图，AC ? BC, BD ? AD, AC ? BD 求证：BC ? AD.练一练： 1. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC16与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾 斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, 则 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°. 小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业：44 页 7、8。§12．3角的平分线的性质§12．3．1角的平分线的性质（一）教学目标 （一）教学知识点17角平分线的画法． （二）能力训练要求 1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． （三）情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学方法 讲练结合法． 教具准备 多媒体课件（或投影） ． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？ [生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中 线，三角形的角的平分线． 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的 连线就是这个三角形的高． 取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．18用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这 个角一半所对应的线就是这个角的角平分线． [生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而 一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的． [师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我 们学习． 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方 案吗？ Ⅱ．导入新课 [生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过 题： 在∠AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取 OM=ON，MC ⊥OB．MC 与 NC 交于 C 点． 求证：∠MOC=∠NOC． 通过证明 Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线 OC 就是∠ AOB 的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB 的两边上分别截取 OM=ON，再分别过 M、N 作 MC⊥OA，NC⊥OB， MC?与 NC 交于 C 点，连接 OC，那么 OC 就是∠AOB 的平分线了． [师]他这个方案可行吗？ （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） [师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用， ?联想迁移的学习方法值得大家借鉴．19这样一个⊥OA，NC议一议：下图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC．将点 A 放在角的 顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你 能说明它的道理吗？ 教师活动： 播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过 生直观了解得到射线 AC 的方法． 学生活动： 观看多媒体课件，讨论操作原理． [生 1]要说明 AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． [生 2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中， 那么证明这两个三角形全等 就可以了． [生 3]我们看看条件够不够．? AB ? AD ? ? BC ? DC ? AC ? AC ?程，使学所以△ABC≌△ADC（SSS） ． 所以∠CAD=∠CAB． 即射线 AC 就是∠DAB 的平分线． [生 4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来 温故是可以知新的． 老师再提出问题： 通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手 做做看．然后与同伴交流操作心得． （分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予20启发和指导，使讲评更具有针对性） 讨论结果展示： 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N． （2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交 于点 C． （3）作射线 OC，射线 OC 即为所求．1 2（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法， 提高学习数学的兴趣） ． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于 MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ （设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学 严密性的良好学习习惯） 学生讨论结果总结： 1．去掉“大于 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找 不到角的平分线．211 21 22．若分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能 在∠AOB?的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点， ?否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?所以第二步中的 两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 练一练： 任意画一角∠AOB，作它的平分线． Ⅲ．随堂练习 课本 P50 练习． 练后总结： 平角∠AOB 的平分线 OC 与直线 AB 垂直．将 OC 反向延长得到直线 CD，直线 CD 与 AB?也垂直． Ⅳ．课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，?探究得到了角平分线仪器 的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一 种很好的学习方法． Ⅴ．课后作业 1．课本 P51 习题 12．2─1、2．1 222§12．3．2角的平分线的性质（二）教学目标 （一）教学知识点 角的平分线的性质 （二）能力训练要求 1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” ． 2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括 归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点 角平分线的性质及其应用． 教学难点 灵活应用两个性质解决问题． 教学方法 探索、归纳的方法． 教具准备 剪刀、折纸、投影片． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的 角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸23片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ [生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现 两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长 的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其 他性质，今天我们就来研究这个问题． Ⅱ．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕 PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画 PD、PE 是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线 的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合 要求．24[生甲]噢，对于，我知道了． [师]同学甲，你再做一遍加深一下印象． 问题 1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等． 问题 2： （出示投影片） 能否用符号语言来翻译 “角平分线上的点到角的两边的距离相等” 这句话． 请 填下表：学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并 用符号语言填写下表：25[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以 Rt△PEO≌△PDO （HL） ．于是可得∠PDE=∠POD． 由已知推出的事项：点 P 在∠AOB 的平分线上． [师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角 的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？ [生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换． [师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性” ． 下面请同学们思考一个问题． 思考： 如图所示，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公 路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例 尺为 1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可 以解决这个问题？262．比例尺为 1：20000 是什么意思？ （学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导） 讨论结果展示： 1．应该是用第二个性质．?这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的 平分线上，并且要求离角的顶点 500 米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，? 这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为 1：20000，其实就是 图中 1cm?表示实际距离 200m 的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB 的平分线 OP． 第二步：在射线 OP 上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C 点就是集贸市场所建地 了． 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，?使问题 简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，?我们可以直接利 用性质解决问题． [例]如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P． 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等．27[师生共析]点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边 的距离，?也就是说要证：PD=PE=PF．而 BM、CN 分别是∠B、∠C 的平分线，? 根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题． 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D、E、F． 因为 BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上． 所以 PD=PE． 同理 PE=PF． 所以 PD=PE=PF． 即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等． Ⅲ．随堂练习 1．课本 P50 练习． 2．课本 P51 习题 12．3─2． 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等． Ⅳ．课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两 边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性， 可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求 证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证 明三角形全等而得出线段相等． Ⅴ．课后作业28课本习题 12．3─3、4、5 题．29
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