matlab怎么对非满秩矩阵进行矩阵的满秩分解解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-08-23 05:39 标签： 矩阵满秩分解
第4讲(4)Matlab中的矩阵分解命令_百度文库
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第4讲(4)Matlab中的矩阵分解命令
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满秩分解与奇异值分解
一、矩阵的满秩分解
1. 定义：设，若存在矩阵及，使得
，则称其为的一个满秩分解。
说明：（1）为列满秩矩阵，即列数等于秩；为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。（阶可逆方阵），则
存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解
证：采用构造性证明方法。设，则存在初等变换矩阵，
将写成，并把分块成，其中
是满秩分解。
Hermite标准形（行阶梯标准形）
设，且满足
的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后行的元素全为零（称为零行）；
若中第行的第一个非零元素（即1）在第列，则
矩阵的第列，第列，…,第列合起来恰为阶单位方阵的前列（即列上除了前述的1外全为0）则称为Hermite标准形。
为Hermite标准形
也是Hermite标准形
满秩分解的一种求法
采用行初等变换将化成Hermite标准形，其矩阵形式为，其中为Hermite标准形定义中给出的形状；
选取置换矩阵
的第列为，即该列向量除第个元素为1外，其余元素全为零；
其它列只需确保为置换矩阵即可（的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；
用右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第列
（3）令的前行，则
证明：，则，，已知，但，当然可以通过求出再将分块得到，但这样就没必要采用Hermite标准形形式，注意到，则
求其满秩分解
解：（1）首先求出的秩。显然，前两列互相独立，而第三行可由第一行减去第二行得到，故。
(2)进行初等变换将化为Hermite标准型。
由可见，故，
二、酉对角分解与奇异值分解
厄米矩阵的谱分解
&&&&为厄米矩阵，则存在酉矩阵，使
将写成列向量形式，即，则
非奇异矩阵的酉对角分解
定理：设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得
（若将写成
证：也为阶非奇异矩阵，而且是厄米，正定矩阵，故存在阶酉矩阵，使
为的特征值。
即也是酉矩阵，而且
酉对角分解的求法正如证明中所给：先对对角化（酉对角化），求出变换矩阵，再令即可。
一般矩阵的奇异值分解
定理：设，则存在阶酉矩阵及阶酉矩阵，使
证：首先考虑。因为，故，
而且是厄米，半正定的，存在阶酉矩阵，使
在的基础上构造酉矩阵，即
这由前面基扩充定理可知是可行的，从而有
故定理得证。
奇异值分解的求法可按证明步骤求之
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源代码--MATLAB
算法程序是从网上摘抄过来的，但是我添加了注释
由于MATLAB中只有对矩阵直接分解成行最简形式
的函数，不方便直接看出矩阵的满秩分解形式，即A=P*Q中的P和Q矩阵，因此我找了下网上的程序。
说明：程序中对(m*n)矩阵A进行了满秩分解，分解为P*Q，其中P是m*r矩阵，Q是r*n矩阵，r是矩阵A的秩
B=rref(A); %将矩阵A化成行最简形式（rref,Reduced row echelon form），保存在B中
[m,n]=size(A); %获取矩阵A的大小：m行n列
P0(1:m,:)=0; %生成一个m行1列的列向量，全部值均为0
Q0(:,1:n)=0; %生成一个1行n列的行向量，全部值均为0
for i=1:m %依次扫描矩阵m行
for j=1:n %依次扫描矩阵n列
if B(i,j)==1 %若B(i, j)等于1
for k=1:i-1
%固定j列，扫描此列的第1行到i-1行元素
if B(k,j)~=0 %判断是否全为0
flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
for k=i+1:m
%固定j列，扫描此列的第i+1行到m行（即最后一行）元素
if B(k,j)~=0 %判断是否全为0
flag=0; %若不全为0，则将flag置为0（说明此列不是单位矩阵的列）
if flag==1
%若flag为1（不为0），则说明此列是【矩阵的行最简形式矩阵】的单位矩阵的列
P0=[P0,A(:,j)]; %将矩阵A的j列加到P0列向量之后，如P0=[[0;1;2;3;4],[5;6;7;8;9]]
Q0=[Q0;B(i,:)]; %将矩阵B的i行加到Q0行向量之后，如Q0=[ 0,1,2,3,4 ; 5,6,7,8,9 ]或Q0=[[0,1,2,3,4];[5,6,7,8,9]]
[m1,n1]=size(P0); %获取矩阵P0的大小：m1行n1列
[m2,n2]=size(Q0); %获取矩阵Q0的大小：m2行n2列
P=P0(:,2:n1);
%将矩阵P0的第2列到最后一列赋值给矩阵P（因为第一列是列向量初始化列，其全为0）
Q=Q0(2:m2,:);
%将矩阵Q0的第2行到最后一行赋值给矩阵Q（因为第一行是行向量初始化行，其全为0）
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(1)(5)(1)(1)(5)(4)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(4)(1)(5)(1)(7)(16)(1)第1页/共2页
§4.3矩阵的满秩分解
本节讨论一个m ?n 复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设m ?n 复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得A =FG ，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设m ?n 复矩阵A 的秩为r &0，则A 有满秩分解。
证：因为rankA =r &0，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵B =
其中G 为r ?n 矩阵，并且rankG =r &0；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，
-1-1记作P ，有PA =B ，或者A =P B ，将矩阵P 分块为P -1=(F
S ) ，其中F 为m ?r ?G ?
矩阵，S 为m ?(n -r ) 矩阵，并且rankF =r ，rankS =n -r 。
则有A =P -1B =(F
?G ??=FG ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。
但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有
~~A =FG =(FD )(D -1G ) =F G 。
2??-101 ?例1、 求矩阵A = 12-11?的满秩分解。
解：对矩阵A 进行初等行变换
2100??-1012100??-101 ? ?G ? (A
I )= 12-11010?→ 0203110?=B =? 0?? ?? 22-2--11?????
?-? ? ?-1012??其中G =
0203??所以B = 0203?，P = 110?；而?? ?????
?100??10? ? ?= -110?=(F
S )，其中F = -11?
-211? -21?????
?10? ??-1012?G ??-1?=FG =-11由此可见，所以有A =P B =(F
0? 0203??。 ??? -21????
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