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2014年高中数学复习方略课时作业：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联.
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时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x＞|y|，则x＞y，是真命题，这是因为x＞|y|＝必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25＞1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x＜0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.答案：A2．(2014?锦州模拟)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π?a＝1或a＝－1，所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：A3．(2013?福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，则a＝2或a＝3，所以A?Ba＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．答案：A4．(2014?株洲二模)给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R且ab≠0，若＜1，则＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中假命题的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①ad＝bc不一定使a，b，c，d依次成等比数列，如取a＝d＝－2，b＝c＝2，故①错误；②如a＝2，b＝－4时，＜1得不到＞1，故a，b异号时不正确，故②错误；③f(|x|)＝f(x)＝f(－x)成立，故③正确．故不正确的有①②.答案：A5．(2014?潍坊一模)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①②B．②③C．①④D．①②③解析：①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m＞1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故选D.答案：D6．(2014?郑州外国语模拟)下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为P，Q，则＝＝是P＝Q的充分必要条件．其中真命题是( )A．①④B．①②③C．②③④D．①③解析：△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，故①正确；Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错误；A＝B时，可得出sinA＝sinB，但sinA＝sinB时，A＝B或A＋B＝π，故A＝B是sinA＝sinB的充分不必要条件，故③正确；由于两不等式的系数符号不确定，由＝＝不能推出P＝Q；反之P＝Q时，若P＝Q＝?，则不一定有＝＝，故＝＝是P＝Q的既不充分也不必要条件，故④错误．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2014?南昌一模)若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________．解析：若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则集合{x|x＜m}是集合{x|x＞4或x＜－2}的真子集，所以m≤－2，即m的最大值为－2.答案：－28．命题“若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断．或只写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可，原命题为真，逆命题为假．答案：29．(2014?大同模拟)设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：解p得≤x≤1，解q得a≤x≤a＋1，由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p?q，qp∴[，1][a，a＋1]，∴a≤且a＋1≥1，解得0≤a≤.答案：0≤a≤10．(2014?西安调研)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0的根x＝，即n＝2±；因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意；反之由n＝3,4，可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．答案：3或4三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．解：解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法三：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝{a∈R|a≥－}，即A?B，∴“若p，则q”为真，∴“若p，则q”的逆否命题“若q，p”为真，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．解法四：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则p：a＜0，q：x2＋x－a＝0无实根，∴p：A＝{a∈R|a＜0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝{a∈R|a＜－}．∵B?A，∴“若q，则p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真．12．设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．解：依题意，得A＝{x|x2－x－2>0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝{x|－1≥0}＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈(－∞，－]．∵α是β的充分条件，∴(A∩B)?C.则需满足3≤－?p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．13．设a，b，c为△ABC的三边，求证方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.解：设m是两个方程的公共根，显然m≠0.由题设知m2＋2am＋b2＝0，①m2＋2cm－b2＝0，②由①＋②得2m(a＋c＋m)＝0，∴m＝－(a＋c)，③将③代入①得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，化简得a2＝b2＋c2，∴所给的两个方程有公共根的必要条件是a2＝b2＋c2.下面证明其充分性．∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0即为x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的两个根分别为x1＝－(a＋c)，x2＝c－a；同理，方程x2＋2cx－b2＝0的两根分别为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.
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2014届高考数学一轮高分必做训练：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．若aR，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．
2．已知命题p：n∈N,2n＞1 000，则綈p为(　　)．A．n∈N,2n≤1 000
B．n∈N,2n＞1 000
C．n∈N,2n≤1 000
D．n∈N,2n＜1 000
解析　特称命题的否定是全称命题．即p：x∈M，p(x)，则綈p：x∈M，綈p(x)．故选A.
．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的(　　)．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．
【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值?特殊图形、特殊位置?代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.．与命题“若aM，则bM”等价的命题是(　　)
A．若aM，则bM　　B．若bM，则aM
C．若aM，则bM
D．若bM，则aM
解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.
若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)．A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析　若φ (a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.
．已知集合A＝{xR|<2x<8}，B＝{xR|－1<x2
D．－2<m<2
解析：A＝{xR|<2x<8}＝{x|－1<x3，即m>2.
二、填空题
．若“x[2,5]或x{x|x4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：x[2,5]且x{x|x4}是真命题．
由得1≤x<2.
答案：[1,2)
已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的________．
解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
．设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析　p：|4x－3|≤1≤x≤1，
q：(x－a)(x－a－1)≤0a≤x≤a＋1
解得：0≤a≤.
．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1θ∈
p2：|a＋b|＞1θ∈
p3：|a－b|＞1θ∈
p4：|a－b|＞1θ∈
其中真命题的个数是____________．
解析　由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ.当θ时，a·b＞－，|a＋b|2＝a
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