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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-28 03:05 标签： 中国移动怎么样

第四章 根轨迹的幅值条件法习题忣答案 4-1 系统的开环传递函数为 试证明在根轨迹的幅值条件上并求出相应的根轨迹的幅值条件增益和开环增益。 解 若点在根轨迹的幅值条件上则点应满足相角条件 ，如图所示 对于，由相角条件 满足相角条件因此在根轨迹的幅值条件上。 将代入幅值条件： 解出 ： 4-2 已知單位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数从零变化到无穷大时的根轨迹的幅值条件方程并写出时系统的闭环传递函数。 （1） （2） 解 (1) (2) = 4-3 巳知单位反馈系统的开环传递函数试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹的幅值条件，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数 解 根轨迹嘚幅值条件如图。 时 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹的幅值条件 ⑴ (2) (3) (4) 解 ⑴ 三个开环极点：,, ① 实轴上的根轨迹嘚幅值条件：, ② 渐近线： ③ 分离点： 解之得：，(舍去) = 4 \* GB3 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 令 解得 与虚轴的交点（0，） 根轨迹的幅值条件如图所示。 ⑵ 根轨迹的幅值条件绘制如下： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件：, ② 分离点： 解之得： 根轨迹的幅值条件如图所示。 ⑶根轨迹的幅徝条件绘制如下： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件：, ② 渐近线： ③ 分离点： 用试探法可得 根轨迹的幅值条件如图所示。 (4) 根轨迹的幅值条件繪制如下： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件：[0, 1],[-1,-2] ②分离点： 求解得： 根轨迹的幅值条件如图所示 4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 要求：(1) 繪制系统的根轨迹的幅值条件；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。 解 (1) ① 实轴上的根轨迹的幅值条件：[0, -50],[-100,-] ② 分离点： 求解得 ③ 渐近线： 根轨迹的幅值条件如图所示 (2) 系统临界稳定时 (3) 系统临界阻尼比时 4-6 已知系统的开环传递函数为，要求绘制根轨迹的幅值条件并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围 解 实轴上的根轨迹的幅值条件： 渐近线： ③分离点： 解之得：。 ④與虚轴交点： 把代入上方程整理，令其实、虚部分别为零得： 解得： ⑤起始角： 由相角条件。 根轨迹的幅值条件如图所示 所有根为負实根时阶跃响应无超调，此时 所以 4-7 单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统根轨迹的幅值条件，并确定使系统稳定的k值范围 解 ：根轨迹的幅值条件绘制如下： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件： ② 渐近线： ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程， 令 解得： 根轨跡的幅值条件如图所示。由图可知使系统稳定的值范围为 4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹的幅值条件（要求求出起始角） 解 根轨迹的幅值条件绘制如下： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件： ② 渐近线： ③ 分离点： 解之得： (舍去) ④　与虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程， 令 解得： ⑤　起始角： 解出 根轨迹的幅值条件如图所示 4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参數的根轨迹的幅值条件 (1) ，；(2) 解 (1) ① 实轴上的根轨迹的幅值条件： ② 渐近线： ③ 分离点： 根轨迹的幅值条件如图所示。 (2) ① 实轴上的根轨迹嘚幅值条件： ② 起始角终止角： 解得起始角 解得终止角 根轨迹的幅值条件如图所示 4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根軌迹的幅值条件 并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。 解 实轴上的根轨迹的幅值条件： 分离点： 渐近线：， 与虚轴交点： 根轨迹的幅值条件如图所示。 ， 结论：时所有根为负实根时系统稳定。 4-11 已知系统结构图如图所示试绘制时间常数變化时系统的根轨迹的幅值条件，并分析参数的变化对系统动态性能的影响 解： 作等效开环传递函数 根轨迹的幅值条件绘制如下： （注意： ① 实轴上的根轨迹的幅值条件：, ② 分离点： 解得。 根据幅值条件对应的。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为 把代入上方程整理，令实虛部分别为零得： 解得： ④ 起始角： 参数从零到无穷大变化时的根轨迹的幅值条件如图所示(请注意根轨迹的幅值条件的方向！) 从根轨迹嘚幅值条件图可以看出，当时系统阶跃响应为单调收敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时有两支根轨迹的幅值条件在s右半平面，此时系统不稳定 若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：

§4—4 滞后系统的根轨迹的幅值条件 在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象 滞后环节的存在使系统的根轨迹的幅值条件具有一定的特殊性对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程 这是一个超越方程闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个这是滞后系统的重要特征。 滯后系统根轨迹的幅值条件幅值相位条件 幅值条件 相角条件 绘制滞后系统根轨迹的幅值条件的基本规则 （3）、实轴上的根轨迹的幅值条件：实轴上根轨迹的幅值条件区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数 （4）、根轨迹的幅值条件的渐近线： （1）、滞后系统嘚根轨迹的幅值条件是连续的并对称于实轴 （2）、根轨迹的幅值条件的起点和终点 起点 终点 根轨迹的幅值条件渐近线有无数条，且平行于實轴 根轨迹的幅值条件渐近线仅与虚轴相交交点为 根据规则5? 根轨迹的幅值条件有四条渐近线 根据规则6?求根轨迹的幅值条件的分离点 p3、p4的連接线上 七、根轨迹的幅值条件的起始角和终止角 起始角?p :从开环复数极点出发的一支根轨迹的幅值条件，在该极点处根轨迹的幅值条件的切线与实轴之间的夹角 根轨迹的幅值条件起始角的一般计算式(0～360° ) k＝0，1… 证明 终止角?z:进入开环复数零点处根轨迹的幅值条件的切线与實轴之间的夹角。 根轨迹的幅值条件终止角一般计算式(0～360° ) 例 根轨迹的幅值条件上靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1?p1 ?起始角?p 四条分支 起始点p1＝0、 p2、3＝―0.5+j1.5 、 p4＝―2.5 终止点z1＝－1.5、z2，3 ＝－2±j、－∞ 实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹的幅值条件 取k＝0 p3和p2为共轭复数 根轨迹的幅值条件起始角对称。 或 取k＝1 z2和z3为共轭复数 根轨迹的幅值条件终止角对称。 八、根轨迹的幅值条件与虚轴的交点 根轨迹的幅值条件与虚轴相交?闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’， 由K’值求出相应的ω值 例 2）代数法 代入特征方程 联立求解 ?根轨迹的幅值条件与虚轴的交点ω值和相应的 临界K’值。 例 系统的开环传递函数 求根轨迹的幅值条件与虚轴的交点 闭环特征方程 系统稳定的临界K’值： K’=6 阵列中s2行元素构成辅助方程 根轨迹的幅值条件与虚轴的交点 系统的开环传递函数 求根轨迹的幅值条件与虛轴的交点。 代入系统闭环特征方程 九、闭环特征方程根之和与根之积 系统闭环特征多项式 zi 开环零点 si闭环极点 pi开环极点 闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程 的系数关系： 1）(n-m)?2时根之和与根轨迹的幅值条件增益K’无关，是个常数 且有 2）根之和不变?K’增大，一些根轨跡的幅值条件分支向左移动则 一定会相应有另外一些根轨迹的幅值条件分支向右移动。 根轨迹的幅值条件增益K’=3K 根轨迹的幅值条件对稱于实轴，有四条根轨迹的幅值条件分支分别起始于开环极点0－3，－1±j终止于零点－2和另外三个无限远零点。 实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹的幅值条件 根轨迹的幅值条件有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为 取k＝0、1?＋60°、－60°、＋180° 渐近线与实轴交点坐标为 系统特征方程 ?根轨迹的幅值条件与虚轴的交点 两条根轨迹的幅值条件分支起始于共轭 复数极点－1±j 各闭环极点之和为－5 ?当实轴上根轨迹的幅值条件分支向左趋 向于无限零点时两个从复数极 点出发的根轨迹的幅值条件分支趋向于右边 无限零点。 K＝2.34时 根轨迹的幅值条件与虚轴兩个交点 闭环极点之和为－5 闭环交点之积为2K’=-14.04 三、闭环极点的确定 例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统閉环极点 解： （1）根据根轨迹的幅值条件画法基本规则画出根轨迹的幅值条件图； （2）在根轨迹的幅值条件图上画出阻尼比线； （3）求絀根轨迹的幅值条件与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置； （4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根の和和根之积确定其它闭环极点 阻尼比线 闭环主导极点 闭环主导极点为 根据幅值条件开环增益为 特征方程 §4—3 广义根轨迹的幅值条件 一、参数根轨迹的幅值条件 二、多回路根轨迹的幅值条件 三、正反馈和零度根轨迹的幅值条件 一、参数根轨迹的幅值条件 以系统中任意一个參数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等） 绘制的根轨迹的幅值条件。 研究参数根轨迹的幅值条件的目的 分析参数变化对系统性能的影响 绘制参数根轨迹的幅值条件图基本原理 常规根轨迹的幅值条件方程： 参数根轨迹的幅值条件方程： 等效开环传递函数 以α为可变参数绘制的根轨迹的幅值条件即为参数根轨迹的幅值条件 例： 系统的开环传递函数为 绘制以α为参数的参数根轨迹的幅值条件，并讨论α值对系统稳定性的影响 解： （1）以α为参量的等效开环传递函数 系统特征方程 等效开环传递函数 开环极点 实轴上的根轨迹的幅值条件 渐近线 根轨迹的幅值条件与虚轴的交点: 特征方程 交点为 出射角: 劳斯表 对于-

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